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Un polinomio de Taylor aproxima una función con un número finito de términos. Si se dejan crecer los términos sin límite se obtiene una serie de potencias: un “polinomio infinito” que, dentro de cierto intervalo, no aproxima la función sino que es la función. Con ellas se calculan funciones en las calculadoras, se resuelven ecuaciones diferenciales y se definen funciones nuevas.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es una serie de potencias y dónde converge.
  • Cómo calcular el radio de convergencia con el criterio del cociente o de la raíz.
  • Por qué hay que estudiar aparte los extremos del intervalo.
  • Cómo derivar, integrar y sustituir dentro de una serie para obtener desarrollos nuevos sin calcular derivadas.

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Fundamentos teóricos

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Definición

Una serie de potencias centrada en aa es ∑n=0∞cn (x−a)n=c0+c1(x−a)+c2(x−a)2+⋯\sum_{n=0}^{\infty} c_n\,(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots Para cada valor de xx es una serie numérica, que puede converger o no. El conjunto de valores donde converge es siempre un intervalo centrado en aa.

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Radio de convergencia

Existe un número R≥0R \ge 0 (que puede ser ∞\infty), el radio de convergencia, tal que:
  • Si ∣x−a∣<R|x-a| < R, la serie converge (y lo hace absolutamente).
  • Si ∣x−a∣>R|x-a| > R, la serie diverge.
  • Si ∣x−a∣=R|x-a| = R, puede pasar cualquier cosa: hay que estudiar cada extremo a mano.
Se calcula con el criterio del cociente: R=lim⁡n→∞∣cncn+1∣R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| o con el criterio de la raíz (Cauchy-Hadamard), que siempre funciona: 1R=lim sup⁡n→∞∣cn∣n\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}

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La serie geométrica, la madre de todas

11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+x3+⋯∣x∣<1\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \qquad |x| < 1 Casi todos los desarrollos útiles salen de esta mediante tres operaciones.

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Operaciones dentro del radio de convergencia

Derivar e integrar no cambian el radio, pero sí pueden cambiar lo que pasa en los extremos.

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Serie de Taylor

Si una función se puede escribir como serie de potencias en torno a aa, los coeficientes son obligatoriamente cn=f(n)(a)n!c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} Es decir, la serie de potencias de una función es única y coincide con su serie de Taylor. Por eso da igual cómo se obtenga: derivando, sustituyendo o integrando, el resultado es el mismo.

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Desarrollos que hay que saber

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Radio e intervalo de convergencia

Estudia dónde converge ∑n=1∞(x−2)nn 3n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n\,3^n}.Con cn=1n 3nc_n = \frac{1}{n\,3^n}:R=lim⁡(n+1) 3n+1n 3n=3R = \lim \frac{(n+1)\,3^{n+1}}{n\,3^n} = 3. Converge seguro si ∣x−2∣<3|x-2| < 3, es decir, en (−1,5)(-1, 5).Extremos. En x=5x = 5 queda ∑1n\sum \frac{1}{n}, la serie armónica: diverge. En x=−1x = -1 queda ∑(−1)nn\sum \frac{(-1)^n}{n}, alternada con términos que decrecen a 0: converge (Leibniz).Intervalo de convergencia: [−1,5)[-1, 5).
Partimos de la geométrica con −x-x: 11+x=∑(−1)nxn\frac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n, para ∣x∣<1|x| < 1.Integrando de 0 a xx término a término:ln⁡(1+x)=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1=x−x22+x33−⋯\ln(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdotsNo ha hecho falta calcular ninguna derivada de ln⁡(1+x)\ln(1+x).
Sustituyendo xx por −x2-x^2 en la geométrica: 11+x2=1−x2+x4−⋯\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots, para ∣x∣<1|x| < 1.Integrando: arctan⁡x=x−x33+x55−⋯\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdotsCon x=1x = 1 (el extremo converge por Leibniz) sale la serie de Leibniz: π4=1−13+15−⋯\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots
Calcula ∑n=1∞n2n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}.Derivando la geométrica: ∑n≥1n xn−1=1(1−x)2\sum_{n\ge1} n\,x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}. Multiplicando por xx: ∑n xn=x(1−x)2\sum n\,x^n = \frac{x}{(1-x)^2}.Con x=12x = \frac12: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2.
Radio de ∑xnn!\sum \frac{x^n}{n!}: R=lim⁡(n+1)!n!=lim⁡(n+1)=∞R = \lim \frac{(n+1)!}{n!} = \lim (n+1) = \infty. La serie de exe^x converge para todo xx.

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Errores frecuentes

  • Olvidar los extremos. El criterio del cociente no dice nada en ∣x−a∣=R|x-a| = R; cada extremo se estudia aparte.
  • Invertir el cociente. R=lim⁡∣cn/cn+1∣R = \lim |c_n / c_{n+1}|, no al revés. Si se aplica el criterio a los términos completos cn(x−a)nc_n (x-a)^n, la condición es que el límite sea menor que 1.
  • Usar un desarrollo fuera de su radio. 11−x=∑xn\frac{1}{1-x} = \sum x^n es falso para x=2x = 2, aunque la función sí exista ahí.
  • Pensar que derivar cambia el radio. El radio se conserva; solo pueden cambiar los extremos.

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Preguntas frecuentes

No. El ejemplo clásico es f(x)=e−1/x2f(x) = e^{-1/x^2} (con f(0)=0f(0) = 0): todas sus derivadas en 0 valen 0, así que su serie de Taylor es la función nula, pero ff no lo es. Las funciones que sí coinciden con su serie se llaman analíticas.
Porque en el plano complejo tiene polos en x=±ix = \pm i, a distancia 1 del origen. El radio de convergencia es la distancia a la singularidad compleja más cercana.
Para evaluar funciones (las calculadoras usan variantes de estas series), resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables (método de Frobenius), aproximar integrales que no tienen primitiva elemental, como ∫e−x2dx\int e^{-x^2}dx, y definir funciones especiales como las de Bessel.

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Temas relacionados

Polinomio de Taylor

La aproximación con un número finito de términos.

Aplicaciones de Taylor

Límites, errores y aproximaciones.

Series de Fourier

Desarrollar en senos y cosenos en lugar de potencias.
Última modificación el 12 de octubre de 2026