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El determinante es un número que se asocia a cada matriz cuadrada y que resume información fundamental: si la matriz tiene inversa, si un sistema de ecuaciones tiene solución única y cuánto cambia el área o el volumen al aplicar la transformación. Se calcula con reglas sencillas para 2×22\times2 y 3×33\times3, y con sus propiedades para matrices mayores.

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Lo que vas a aprender

  • Cómo calcular determinantes de orden 2 y 3 (regla de Sarrus).
  • El desarrollo por adjuntos para cualquier orden.
  • Las propiedades que permiten simplificar el cálculo.
  • El significado geométrico: área, volumen y orientación.
  • Cómo calcular la inversa con la adjunta y el rango por menores.
  • La regla de Cramer para resolver sistemas.

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Fundamentos teóricos

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Orden 2

∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

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Orden 3: regla de Sarrus

∣abcdefghi∣=aei+bfg+cdh−ceg−afh−bdi\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi Los tres primeros productos siguen la diagonal principal y sus paralelas; los tres últimos, la diagonal secundaria. Solo vale para orden 3.

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Desarrollo por adjuntos (Laplace)

El menor MijM_{ij} es el determinante que queda al quitar la fila ii y la columna jj. El adjunto es Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}. Desarrollando por cualquier fila ii: det⁡A=∑jaij Aij\det A = \sum_{j} a_{ij}\,A_{ij} (o por cualquier columna). Los signos siguen un tablero de ajedrez que empieza por ++. Conviene elegir la fila o columna con más ceros.

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Propiedades

Método práctico para orden 4 o más: hacer ceros en una columna con la propiedad de “sumar un múltiplo de otra fila” y desarrollar por esa columna. O triangular por completo y multiplicar la diagonal.

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Significado geométrico

  • En el plano, ∣det⁡A∣|\det A| es el área del paralelogramo que forman las columnas.
  • En el espacio, el volumen del paralelepípedo.
  • El signo indica si la transformación conserva la orientación (++) o la invierte, como un espejo (−-).
  • det⁡A=0\det A = 0: la transformación “aplasta” el espacio a una dimensión menor. Puedes verlo en el simulador de matrices como transformaciones.

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Inversa con la adjunta

AA tiene inversa si y solo si det⁡A≠0\det A \ne 0, y entonces A−1=1det⁡A Adj⁡(A)TA^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Adj}(A)^T donde Adj⁡(A)\operatorname{Adj}(A) es la matriz de los adjuntos. Para 2×22\times2: (abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}.

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Rango por menores

El rango es el orden del mayor menor no nulo. Se busca un menor de orden 2 distinto de 0 y se “orla” (se le añade una fila y una columna) buscando uno de orden 3 no nulo, y así sucesivamente.

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Regla de Cramer

Si Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} es un sistema de nn ecuaciones y nn incógnitas con det⁡A≠0\det A \ne 0: xi=det⁡Aidet⁡Ax_i = \frac{\det A_i}{\det A} donde AiA_i es AA con la columna ii sustituida por b\mathbf{b}. Es cómoda para 2 o 3 incógnitas; para sistemas grandes se usa eliminación de Gauss.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Sarrus

∣2130−14120∣\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}Positivos: 2(−1)(0)+1⋅4⋅1+3⋅0⋅2=42(-1)(0) + 1\cdot4\cdot1 + 3\cdot0\cdot2 = 4.Negativos: 3(−1)(1)+2⋅4⋅2+1⋅0⋅0=−3+16=133(-1)(1) + 2\cdot4\cdot2 + 1\cdot0\cdot0 = -3 + 16 = 13.det⁡=4−13=−9\det = 4 - 13 = -9.
Desarrollando por la primera columna (tiene un 0):2∣−1420∣−0+1∣13−14∣=2(0−8)+(4+3)=−16+7=−92\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0\end{vmatrix} - 0 + 1\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 4\end{vmatrix} = 2(0 - 8) + (4 + 3) = -16 + 7 = -9. ✓
∣1201251301211212∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}F2−2F1F_2 - 2F_1 y F4−F1F_4 - F_1: ∣1201011101210011∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}.Por la primera columna: 1⋅∣111121011∣=(2+0+1)−(0+1+1)=11\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix} = (2 + 0 + 1) - (0 + 1 + 1) = 1.
¿Para qué valores de kk es invertible (k14k)\begin{pmatrix} k & 1 \\ 4 & k \end{pmatrix}?det⁡=k2−4=0⇒k=±2\det = k^2 - 4 = 0 \Rightarrow k = \pm2. Es invertible para todo k≠±2k \ne \pm2.
A=(2153)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}, det⁡A=1\det A = 1. A−1=(3−1−52)A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}.Comprobación: AA−1=(6−5−2+215−15−5+6)=IAA^{-1} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -2 + 2 \\ 15 - 15 & -5 + 6\end{pmatrix} = I.
{2x+y=5x−3y=−1\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = -1 \end{cases}. det⁡A=−6−1=−7\det A = -6 - 1 = -7.x=∣51−1−3∣−7=−14−7=2x = \frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -1 & -3\end{vmatrix}}{-7} = \frac{-14}{-7} = 2. y=∣251−1∣−7=−7−7=1y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1\end{vmatrix}}{-7} = \frac{-7}{-7} = 1.
Triángulo de vértices (0,0)(0, 0), (4,1)(4, 1) y (1,3)(1, 3):Área =12∣∣4113∣∣=12∣12−1∣=5,5= \frac12\left|\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3\end{vmatrix}\right| = \frac12|12 - 1| = 5{,}5.

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Errores frecuentes

  • Usar Sarrus en orden 4. Solo vale para 3×33\times3.
  • Olvidar los signos de los adjuntos (−1)i+j(-1)^{i+j}.
  • Pensar que det⁡(A+B)=det⁡A+det⁡B\det(A + B) = \det A + \det B. Es falso; solo se cumple con el producto.
  • Sacar factor común de toda la matriz como si fuera una fila. det⁡(2A)=2ndet⁡A\det(2A) = 2^n\det A, no 2det⁡A2\det A.
  • Olvidar trasponer la adjunta al calcular la inversa.

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Preguntas frecuentes

Es la prueba rápida de casi todo: si det⁡A≠0\det A \ne 0, la matriz es invertible, sus columnas son linealmente independientes, el sistema Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} tiene solución única y 0 no es autovalor. Si det⁡A=0\det A = 0, todo lo contrario.
Factorizando A=LUA = LU y multiplicando la diagonal de UU (cambiando el signo por cada intercambio de filas). Cuesta unas n3/3n^3/3 operaciones; el desarrollo por adjuntos, n!n!, que para n=20n = 20 ya son más de 101810^{18}.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026