Saltar al contenido principal
Con los números, para despejar xx en ax=bax = b se divide entre aa. Con las matrices no existe la división, pero sí algo equivalente: multiplicar por la matriz inversa. Si Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} y AA tiene inversa, entonces x=A−1b\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}. Calcularla es uno de los ejercicios básicos del álgebra lineal, y entender cuándo existe es clave para saber si un sistema tiene solución única.

​
Lo que vas a aprender

  • Cuándo tiene inversa una matriz.
  • La fórmula directa para matrices 2×2.
  • El método de Gauss-Jordan.
  • El método de los adjuntos.
  • Las propiedades de la inversa.
  • Cómo resolver ecuaciones matriciales.

​
Fundamentos teóricos

​
Definición

La inversa de una matriz cuadrada AA es la matriz A−1A^{-1} que cumple A A−1=A−1A=IA\,A^{-1} = A^{-1}A = I Existe si y solo si det⁡A≠0\det A \ne 0. Una matriz con inversa se llama regular o invertible; si det⁡A=0\det A = 0, es singular. Ver determinantes.

​
Matriz 2×2

(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} Se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante.

​
Método de Gauss-Jordan

  1. Se escribe la matriz ampliada (A∣I)(A \mid I).
  2. Con operaciones elementales de fila (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) se transforma la parte izquierda en la identidad.
  3. La parte derecha queda convertida en A−1A^{-1}: (I∣A−1)(I \mid A^{-1}).
Si en algún momento aparece una fila de ceros en la parte izquierda, la matriz no tiene inversa. Es el método más eficiente para matrices de orden 3 o más, y el que usan los ordenadores. Puedes verlo paso a paso en la calculadora de matrices.

​
Método de los adjuntos

A−1=1det⁡A (Adj⁡A)TA^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\big(\operatorname{Adj}A\big)^T Adj⁡A\operatorname{Adj}A es la matriz de los adjuntos: cada elemento sustituido por su menor con el signo (−1)i+j(-1)^{i+j}. Es cómodo para matrices 3×3 con parámetros.

​
Propiedades

​
Ecuaciones matriciales

Se despeja la matriz incógnita multiplicando por la inversa por el lado correcto, porque el producto de matrices no es conmutativo:

​
Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Inversa 2×2

A=(3152)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}. det⁡A=6−5=1\det A = 6 - 5 = 1.A−1=(2−1−53)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}. Comprobación: AA−1=(6−5−3+310−10−5+6)=IAA^{-1} = \begin{pmatrix} 6 - 5 & -3 + 3 \\ 10 - 10 & -5 + 6 \end{pmatrix} = I.
A=(102010103)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.(102100010010103001)\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)F3−F1F_3 - F_1: la tercera fila pasa a (0,0,1∣−1,0,1)(0, 0, 1 \mid -1, 0, 1).F1−2F3F_1 - 2F_3: la primera pasa a (1,0,0∣3,0,−2)(1, 0, 0 \mid 3, 0, -2).A−1=(30−2010−101)A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A=(1kk4)A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ k & 4 \end{pmatrix}: det⁡A=4−k2=0⇒k=±2\det A = 4 - k^2 = 0 \Rightarrow k = \pm2. Invertible para k≠±2k \ne \pm2.
Resuelve AX=BAX = B con A=(3152)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} y B=(1021)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.X=A−1B=(2−1−53)(1021)=(0−113)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
XA−2X=BXA - 2X = B: X(A−2I)=B⇒X=B(A−2I)−1X(A - 2I) = B \Rightarrow X = B(A - 2I)^{-1}.Hay que sacar XX factor común por la izquierda y escribir 2X=X⋅2I2X = X\cdot2I para poder agrupar.
{3x+y=45x+2y=7\begin{cases} 3x + y = 4 \\ 5x + 2y = 7 \end{cases}: (xy)=A−1(47)=(8−7−20+21)=(11)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 7 \\ -20 + 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

​
Errores frecuentes

  • Multiplicar por la inversa por el lado equivocado. AX=BAX = B da X=A−1BX = A^{-1}B, no BA−1BA^{-1}.
  • Pensar que (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}. El orden se invierte.
  • Olvidar trasponer la matriz de adjuntos.
  • Intentar invertir una matriz no cuadrada o con determinante cero.
  • Escribir X(A−2)X(A - 2) en lugar de X(A−2I)X(A - 2I): no se puede restar un número a una matriz.

​
Preguntas frecuentes

No. Calcular A−1A^{-1} cuesta unas tres veces más que resolver el sistema directamente con eliminación de Gauss o factorización LU, y es menos preciso. La inversa es útil en teoría y para matrices pequeñas. Lo explica el tema de sistemas lineales.
Si la matriz es una transformación del plano (girar, estirar, inclinar), la inversa es la transformación que la deshace. Si la matriz aplasta el plano sobre una recta (determinante cero), no hay forma de deshacerlo. Lo puedes ver en el simulador de matrices como transformaciones.

​
Temas relacionados

Calculadora de matrices

Gauss-Jordan paso a paso.

Determinantes

Cuándo existe la inversa.

Sistemas de ecuaciones

Resolver sistemas 2×2.
Última modificación el 12 de octubre de 2026