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Una matriz transforma casi todos los vectores girándolos y estirándolos a la vez. Pero hay unas direcciones especiales que no giran: los vectores en ellas solo se estiran o encogen. Son los autovectores, y el factor de estiramiento es su autovalor. Conocerlos permite escribir la matriz en su forma más simple, calcular potencias de forma inmediata y entender la estabilidad de sistemas dinámicos, las vibraciones de una estructura o el algoritmo PageRank de Google.

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Lo que vas a aprender

  • Qué son un autovalor y un autovector, y su significado geométrico.
  • Cómo calcularlos con el polinomio característico.
  • Cuándo una matriz es diagonalizable y cómo diagonalizarla.
  • Cómo calcular potencias de una matriz con la diagonalización.
  • Por qué las matrices simétricas son especiales.

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Fundamentos teóricos

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Definición

λ\lambda es un autovalor de la matriz cuadrada AA si existe un vector v≠0\mathbf{v} \ne \mathbf{0} con Av=λvA\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} v\mathbf{v} es un autovector asociado a λ\lambda. Cualquier múltiplo no nulo de v\mathbf{v} también lo es: lo que importa es la dirección.

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Polinomio característico

Av=λvA\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} equivale a (A−λI)v=0(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}, que tiene solución no nula solo si det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0 Es la ecuación característica. Sus raíces son los autovalores. Para cada uno, los autovectores son las soluciones no nulas del sistema homogéneo (A−λI)v=0(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}. Para una matriz 2×22\times2 hay un atajo: λ2−tr⁡(A) λ+det⁡(A)=0\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\,\lambda + \det(A) = 0

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Traza y determinante

Para cualquier matriz n×nn\times n, con sus nn autovalores contados con multiplicidad: λ1+⋯+λn=tr⁡(A)λ1⋯λn=det⁡(A)\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}(A) \qquad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det(A) Así se comprueba un cálculo en segundos. Además, AA es invertible si y solo si 0 no es autovalor.

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Multiplicidades

  • Algebraica: cuántas veces es raíz λ\lambda del polinomio característico.
  • Geométrica: dimensión del subespacio de autovectores, dim⁡ker⁡(A−λI)=n−rg⁡(A−λI)\dim\ker(A - \lambda I) = n - \operatorname{rg}(A - \lambda I).
Siempre 1≤1 \le geométrica ≤\le algebraica.

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Diagonalización

AA es diagonalizable si existe una matriz invertible PP con A=P D P−1A = P\,D\,P^{-1} donde DD es diagonal con los autovalores y las columnas de PP son los autovectores, en el mismo orden. Es posible si y solo si:
  • AA tiene nn autovectores linealmente independientes, o, lo que es igual,
  • para cada autovalor, multiplicidad geométrica = algebraica.
Basta con que los nn autovalores sean distintos.

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Potencias de una matriz

Ak=P Dk P−1Dk=diag⁡(λ1k,…,λnk)A^k = P\,D^k\,P^{-1} \qquad D^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k) En lugar de kk productos de matrices, se elevan nn números. Igual con cualquier función: eA=P eDP−1e^{A} = P\,e^{D}P^{-1}.

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Matrices simétricas: teorema espectral

Si A=ATA = A^T (real):
  • Todos los autovalores son reales.
  • Autovectores de autovalores distintos son ortogonales.
  • Siempre es diagonalizable, con PP ortogonal: A=QDQTA = Q D Q^T.
Es el caso de las matrices de inercia, las de covarianza y las hessianas.

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Para qué sirven

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Autovalores y autovectores 2×2

A=(4123)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}. Traza 7, determinante 10.λ2−7λ+10=0⇒λ1=5\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 5, λ2=2\lambda_2 = 2. Comprobación: 5+2=75 + 2 = 7, 5⋅2=105\cdot2 = 10.Para λ=5\lambda = 5: (−112−2)v=0⇒v1=(1,1)\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_1 = (1, 1).Para λ=2\lambda = 2: (2121)v=0⇒v2=(1,−2)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{v} = \mathbf{0} \Rightarrow \mathbf{v}_2 = (1, -2).
Con la matriz anterior: P=(111−2)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, D=(5002)D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, P−1=13(211−1)P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.A10=P(51000210)P−1=13(2⋅510+210510−2102⋅510−211510+211)A^{10} = P\begin{pmatrix} 5^{10} & 0 \\ 0 & 2^{10}\end{pmatrix}P^{-1} = \frac13\begin{pmatrix} 2\cdot5^{10} + 2^{10} & 5^{10} - 2^{10} \\ 2\cdot5^{10} - 2^{11} & 5^{10} + 2^{11}\end{pmatrix}.Con 510=9 765 6255^{10} = 9\,765\,625: el primer elemento es 19 532 2743=6 510 758\frac{19\,532\,274}{3} = 6\,510\,758.
A=(2102)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. Autovalor λ=2\lambda = 2 doble (multiplicidad algebraica 2).A−2I=(0100)A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} tiene rango 1, así que la multiplicidad geométrica es 2−1=12 - 1 = 1. Solo hay una dirección propia, (1,0)(1, 0): no es diagonalizable. Es una cizalla.
La rotación de 90°, A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}: λ2+1=0⇒λ=±i\lambda^2 + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \pm i.No hay autovalores reales porque una rotación no deja ninguna dirección real fija. En un sistema x′=Ax\mathbf{x}' = A\mathbf{x}, los autovalores imaginarios puros dan oscilaciones sin amortiguar.
A=(123045006)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}. En una matriz triangular, los autovalores son los elementos de la diagonal: 1, 4 y 6. Son distintos, así que es diagonalizable.
Un día soleado va seguido de otro soleado con probabilidad 0,9; uno lluvioso, de otro lluvioso con probabilidad 0,5. Matriz de transición (por columnas): M=(0,90,50,10,5)M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}5 \\ 0{,}1 & 0{,}5 \end{pmatrix}.Autovalores: 1 y 0,4. Para λ=1\lambda = 1: (M−I)v=0⇒−0,1v1+0,5v2=0⇒v=(5,1)(M - I)\mathbf{v} = 0 \Rightarrow -0{,}1v_1 + 0{,}5v_2 = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = (5, 1).Normalizado: a la larga, 56≈83 %\frac56 \approx 83\,\% de días soleados. El autovalor 0,4 dice lo rápido que se olvida el día inicial.

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Errores frecuentes

  • Aceptar v=0\mathbf{v} = \mathbf{0} como autovector. Por definición, un autovector es no nulo.
  • Pensar que toda matriz es diagonalizable. Con autovalores repetidos hay que comprobar la multiplicidad geométrica.
  • Desordenar PP y DD. La columna ii de PP debe ser el autovector del autovalor ii de DD.
  • Calcular autovalores reduciendo por filas. Las operaciones de fila cambian los autovalores; hay que resolver det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0 con la matriz original.

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Preguntas frecuentes

No con el polinomio característico, que es numéricamente inestable. Se usa el algoritmo QR, que factoriza e itera hasta que la matriz se vuelve casi triangular; o el método de la potencia, que multiplica un vector por AA una y otra vez hasta que se alinea con el autovector dominante. Así calcula Google el PageRank.
Se usa la forma canónica de Jordan: casi diagonal, con algunos unos encima de la diagonal. Para potencias y exponenciales sigue funcionando, con términos extra del tipo t eλtt\,e^{\lambda t}.

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Temas relacionados

Matrices como transformaciones

Ve los autovectores en el simulador.

Espacios vectoriales

Base, rango y núcleo.

Péndulos acoplados

Modos normales como autovectores.
Última modificación el 12 de octubre de 2026