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Los vectores del plano, los polinomios, las matrices o las señales de audio parecen objetos muy distintos, pero todos se pueden sumar y multiplicar por números con las mismas reglas. Un espacio vectorial es cualquier conjunto con esas dos operaciones. Estudiarlos en abstracto da un lenguaje común (base, dimensión, rango, núcleo) que sirve igual para resolver sistemas de ecuaciones, comprimir imágenes o describir los estados de un sistema cuántico.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es un espacio vectorial y cómo reconocer un subespacio.
  • Combinación lineal, independencia lineal y sistema generador.
  • Qué son una base y la dimensión, y cómo se cambia de base.
  • El rango de una matriz y el teorema de Rouché-Frobenius.
  • Núcleo e imagen de una aplicación lineal y el teorema de la dimensión.

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Fundamentos teóricos

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Espacio vectorial

Un conjunto VV con una suma y un producto por escalares que cumplen las propiedades habituales (asociativa, conmutativa, existe el 0\mathbf{0}, existe el opuesto, distributivas…). Ejemplos:

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Subespacio

W⊆VW \subseteq V es un subespacio si es cerrado para las dos operaciones. Basta comprobar:
  1. 0∈W\mathbf{0} \in W.
  2. Si u,v∈W\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W y α,β\alpha, \beta son escalares, αu+βv∈W\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v} \in W.
En R3\mathbb{R}^3, los subespacios son: el origen, las rectas por el origen, los planos por el origen y todo R3\mathbb{R}^3. Un plano que no pasa por el origen no es subespacio.

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Combinación lineal e independencia

Una combinación lineal de v1,…,vk\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k es α1v1+⋯+αkvk\alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_k\mathbf{v}_k. El conjunto de todas ellas es el subespacio generado, ⟨v1,…,vk⟩\langle\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\rangle. Los vectores son linealmente independientes si la única forma de obtener 0\mathbf{0} es con todos los coeficientes nulos: α1v1+⋯+αkvk=0  ⇒  α1=⋯=αk=0\alpha_1\mathbf{v}_1 + \cdots + \alpha_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} \;\Rightarrow\; \alpha_1 = \cdots = \alpha_k = 0 Si no, alguno es combinación de los demás y “sobra”.

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Base y dimensión

Una base es un conjunto de vectores independientes que generan todo el espacio. Todas las bases de un espacio tienen el mismo número de vectores: la dimensión. En un espacio de dimensión nn:
  • Más de nn vectores son siempre dependientes.
  • Menos de nn vectores nunca generan.
  • nn vectores independientes son ya una base (y nn que generan, también).

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Coordenadas y cambio de base

Respecto de una base B={b1,…,bn}B = \{\mathbf{b}_1, \dots, \mathbf{b}_n\}, cada vector se escribe de forma única como v=c1b1+⋯+cnbn\mathbf{v} = c_1\mathbf{b}_1 + \cdots + c_n\mathbf{b}_n. Los cic_i son sus coordenadas. Si PP es la matriz cuyas columnas son los vectores de BB escritos en la base canónica: vcanoˊnica=P vBvB=P−1 vcanoˊnica\mathbf{v}_{\text{canónica}} = P\,\mathbf{v}_B \qquad \mathbf{v}_B = P^{-1}\,\mathbf{v}_{\text{canónica}}

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Rango

El rango de una matriz es el número máximo de columnas (o de filas, es lo mismo) linealmente independientes. Se calcula escalonando: es el número de filas no nulas al final. Teorema de Rouché-Frobenius. El sistema Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}, con nn incógnitas:

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Aplicaciones lineales: núcleo e imagen

f:V→Wf: V \to W es lineal si f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)f(\alpha\mathbf{u} + \beta\mathbf{v}) = \alpha f(\mathbf{u}) + \beta f(\mathbf{v}). Entre espacios de dimensión finita, toda aplicación lineal es una matriz: f(x)=Axf(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}.
  • Núcleo: ker⁡f={x:f(x)=0}\ker f = \{\mathbf{x} : f(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\}. Son las soluciones de Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}.
  • Imagen: Im⁡f={f(x)}\operatorname{Im} f = \{f(\mathbf{x})\}. La generan las columnas de AA; su dimensión es rg⁡A\operatorname{rg} A.
Teorema de la dimensión (rango-nulidad): dim⁡V=dim⁡ker⁡f+dim⁡Im⁡f\dim V = \dim\ker f + \dim\operatorname{Im} f ff es inyectiva si y solo si ker⁡f={0}\ker f = \{\mathbf{0}\}, y sobreyectiva si Im⁡f=W\operatorname{Im} f = W.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · ¿Es un subespacio?

  • W1={(x,y,z):x+2y−z=0}W_1 = \{(x, y, z) : x + 2y - z = 0\}: contiene el 0\mathbf{0} y, si dos vectores cumplen la ecuación, su combinación también. Sí, es un plano por el origen.
  • W2={(x,y,z):x+2y−z=1}W_2 = \{(x, y, z) : x + 2y - z = 1\}: 0∉W2\mathbf{0} \notin W_2. No.
  • W3={(x,y):xy≥0}W_3 = \{(x, y) : xy \ge 0\}: (1,0)(1, 0) y (0,−1)(0, -1) están, pero su suma (1,−1)(1, -1) no. No.
¿Son independientes (1,2,3)(1, 2, 3), (4,5,6)(4, 5, 6) y (7,8,9)(7, 8, 9)?det⁡(147258369)=0\det\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} = 0: dependientes. De hecho (7,8,9)=2(4,5,6)−(1,2,3)(7, 8, 9) = 2(4, 5, 6) - (1, 2, 3). Generan un plano, no todo R3\mathbb{R}^3.
W={(x,y,z,t):x−y=0, z+t=0}W = \{(x, y, z, t) : x - y = 0,\ z + t = 0\} en R4\mathbb{R}^4.Con y=xy = x y t=−zt = -z: (x,x,z,−z)=x(1,1,0,0)+z(0,0,1,−1)(x, x, z, -z) = x(1, 1, 0, 0) + z(0, 0, 1, -1).Base: {(1,1,0,0), (0,0,1,−1)}\{(1, 1, 0, 0),\ (0, 0, 1, -1)\}. Dimensión 2 = 4 incógnitas − 2 ecuaciones independientes.
Coordenadas de v=(5,1)\mathbf{v} = (5, 1) en la base B={(1,1),(1,−1)}B = \{(1, 1), (1, -1)\}.c1(1,1)+c2(1,−1)=(5,1)⇒c1+c2=5c_1(1, 1) + c_2(1, -1) = (5, 1) \Rightarrow c_1 + c_2 = 5, c1−c2=1c_1 - c_2 = 1, así que vB=(3,2)\mathbf{v}_B = (3, 2).
f(x,y,z)=(x+y, y+z)f(x, y, z) = (x + y,\ y + z), con matriz A=(110011)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.Núcleo: x=−yx = -y, z=−yz = -y, generado por (1,−1,1)(1, -1, 1). Dimensión 1.Imagen: rg⁡A=2\operatorname{rg} A = 2, así que es todo R2\mathbb{R}^2. La aplicación es sobreyectiva pero no inyectiva.Comprobación: 3=1+23 = 1 + 2.
{x+y=1x+ay=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + ay = 2 \end{cases}. det⁡A=a−1\det A = a - 1.
  • a≠1a \ne 1: rango 2 = número de incógnitas: una solución.
  • a=1a = 1: rg⁡A=1\operatorname{rg} A = 1 y rg⁡(A∣b)=2\operatorname{rg}(A\mid\mathbf{b}) = 2: incompatible (dos rectas paralelas).

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Errores frecuentes

  • Olvidar comprobar que el 0\mathbf{0} está. Es la forma más rápida de descartar que algo sea subespacio.
  • Confundir “generan” con “son base”. Una base además tiene que ser independiente: no le sobra ningún vector.
  • Pensar que la dimensión de un subespacio es el número de ecuaciones. Es el número de incógnitas menos el de ecuaciones independientes.
  • Escribir el cambio de base al revés. PP lleva coordenadas de BB a canónicas; P−1P^{-1} hace lo contrario.

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Preguntas frecuentes

Para no repetir el trabajo. Todo lo que se demuestra para espacios vectoriales vale a la vez para vectores, polinomios, matrices y funciones. Las series de Fourier, por ejemplo, son coordenadas de una función en la base de senos y cosenos.
Una matriz n×nn\times n tiene rango nn si y solo si su determinante no es 0. En general, el rango es el orden del mayor menor no nulo.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026