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En el plano, una recta se describe con y=mx+ny = mx + n. En el espacio hacen falta otras herramientas: una recta queda fijada por un punto y una dirección, y un plano por un punto y un vector perpendicular. Con los productos escalar y vectorial se calculan ángulos, distancias y posiciones relativas. Es la base de la geometría de la robótica, los gráficos por ordenador y el diseño mecánico.

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Lo que vas a aprender

  • Las distintas ecuaciones de una recta y de un plano, y cómo pasar de unas a otras.
  • Cómo estudiar la posición relativa de dos rectas, de una recta y un plano, y de dos planos.
  • Cómo calcular ángulos entre rectas y planos.
  • Las fórmulas de distancia: punto-plano, punto-recta, planos paralelos y rectas que se cruzan.

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Fundamentos teóricos

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Ecuaciones de la recta

Con un punto P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0) y un vector director v=(v1,v2,v3)\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3): Si un componente del vector es 0, en la continua se escribe igual (con un 0 en el denominador) y se interpreta como que esa coordenada es constante.

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Ecuaciones del plano

Con un punto PP y dos vectores directores u\mathbf{u}, v\mathbf{v} no paralelos, o con un punto y un vector normal n=(A,B,C)\mathbf{n} = (A, B, C): El vector normal es n=u×v\mathbf{n} = \mathbf{u}\times\mathbf{v}, y los coeficientes (A,B,C)(A, B, C) de la ecuación general son sus componentes. Plano por tres puntos P,Q,RP, Q, R: n=PQ→×PR→\mathbf{n} = \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}, y se sustituye PP para hallar DD.

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Posiciones relativas

Dos rectas con directores u\mathbf{u}, v\mathbf{v} y puntos PP, QQ: Donde [u,v,w]=det⁡(u,v,w)[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] = \det(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) es el producto mixto. Recta y plano, con director v\mathbf{v} y normal n\mathbf{n}:
  • v⋅n≠0\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} \ne 0: se cortan en un punto.
  • v⋅n=0\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0: paralelos, o la recta está contenida en el plano (si un punto de la recta cumple la ecuación del plano).
Dos planos: se comparan los coeficientes (A,B,C,D)(A, B, C, D). Proporcionales los cuatro: coincidentes. Proporcionales solo A,B,CA, B, C: paralelos. Si no: se cortan en una recta. Con tres planos se estudia el sistema con Rouché-Frobenius.

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Ángulos

El valor absoluto da el ángulo agudo. Entre recta y plano es un seno, porque el normal es perpendicular al plano.

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Distancias

La última es la altura de un paralelepípedo: volumen (producto mixto) dividido entre el área de la base.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Recta por dos puntos

A=(1,2,0)A = (1, 2, 0) y B=(3,1,4)B = (3, 1, 4). Director: AB→=(2,−1,4)\overrightarrow{AB} = (2, -1, 4).Paramétricas: x=1+2λx = 1 + 2\lambda, y=2−λy = 2 - \lambda, z=4λz = 4\lambda. Continua: x−12=y−2−1=z4\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z}{4}.
P=(1,0,0)P = (1, 0, 0), Q=(0,1,0)Q = (0, 1, 0), R=(0,0,1)R = (0, 0, 1). PQ→=(−1,1,0)\overrightarrow{PQ} = (-1, 1, 0), PR→=(−1,0,1)\overrightarrow{PR} = (-1, 0, 1).n=(1⋅1−0, 0−(−1), 0+1)=(1,1,1)\mathbf{n} = (1\cdot1 - 0,\ 0 - (-1),\ 0 + 1) = (1, 1, 1). Plano: x+y+z+D=0x + y + z + D = 0, y con PP: D=−1D = -1.x+y+z=1x + y + z = 1.
rr: punto (0,0,0)(0, 0, 0), director (1,1,0)(1, 1, 0). ss: punto (1,0,1)(1, 0, 1), director (0,1,1)(0, 1, 1).No son paralelas. PQ→=(1,0,1)\overrightarrow{PQ} = (1, 0, 1). det⁡(110011101)=1+1=2≠0\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 + 1 = 2 \ne 0: se cruzan.
Con las rectas anteriores: u×v=(1,−1,1)\mathbf{u}\times\mathbf{v} = (1, -1, 1), de módulo 3\sqrt3.d=∣2∣3=1,155d = \frac{|2|}{\sqrt3} = 1{,}155.
P=(2,1,3)P = (2, 1, 3) al plano 2x−y+2z−3=02x - y + 2z - 3 = 0:d=∣4−1+6−3∣4+1+4=63=2d = \frac{|4 - 1 + 6 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6}{3} = 2.
Recta x=1+tx = 1 + t, y=2ty = 2t, z=3−tz = 3 - t y plano x+y+z=6x + y + z = 6.(1+t)+2t+(3−t)=6⇒2t=2⇒t=1(1 + t) + 2t + (3 - t) = 6 \Rightarrow 2t = 2 \Rightarrow t = 1. Punto de corte: (2,2,2)(2, 2, 2).
x+y=0x + y = 0 y y+z=0y + z = 0: n1=(1,1,0)\mathbf{n}_1 = (1, 1, 0), n2=(0,1,1)\mathbf{n}_2 = (0, 1, 1).cos⁡α=122=12⇒α=60°\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt2\sqrt2} = \frac12 \Rightarrow \alpha = 60°.

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Errores frecuentes

  • Usar coseno para el ángulo recta-plano. Con el vector normal, el ángulo con el plano es el complementario: se usa el seno.
  • Confundir el vector director de un plano con el normal. En Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0, (A,B,C)(A, B, C) es perpendicular al plano.
  • Decir que dos rectas no paralelas se cortan. En el espacio pueden cruzarse sin tocarse.
  • Olvidar el valor absoluto en las distancias.

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Preguntas frecuentes

Resolviendo el sistema de las dos ecuaciones con una incógnita como parámetro. O más rápido: el director es el producto vectorial de los dos normales, y un punto se obtiene dando un valor a una coordenada.
En los gráficos 3D (trazado de rayos: cortar un rayo con los planos de los objetos), en robótica (cinemática de brazos), en CAD y en topografía. La distancia punto-plano es también la base de las máquinas de vectores soporte del aprendizaje automático.

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Temas relacionados

Calculadora de vectores

Producto escalar, vectorial y ángulo.

Determinantes

El producto mixto como determinante.

Sistemas de ecuaciones

Corte de rectas y planos.
Última modificación el 12 de octubre de 2026