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Abrir el simulador

Opera con números complejos paso a paso y míralos en el plano: arrastra z y w.
¿Cuál es la raíz cuadrada de −1? Ningún número real elevado al cuadrado da negativo. Los matemáticos del siglo XVI inventaron un número nuevo, ii, con i2=−1i^2 = -1, para resolver ecuaciones de tercer grado. Lo que parecía un truco resultó ser imprescindible: los números complejos se usan en electricidad, en mecánica cuántica, en el procesado de señales y en el diseño de aviones.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es un número complejo y cómo se representa.
  • Pasar de forma binómica a polar y al revés.
  • Sumar, restar, multiplicar y dividir.
  • Calcular potencias con la fórmula de De Moivre.
  • Calcular las raíces n-ésimas.

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Cómo se usa el simulador

  1. Elige la operación: suma, resta, producto, cociente, potencia o raíces.
  2. Escribe la parte real e imaginaria de zz y ww, o arrástralos por el plano.
  3. Verás zz y ww en forma binómica y polar, el conjugado y el opuesto, el resultado y el paso a paso, con todo dibujado en el plano complejo.

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Fundamentos teóricos

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Forma binómica

z=a+b ii2=−1z = a + b\,i \qquad i^2 = -1 aa es la parte real y bb la imaginaria. Se dibuja como el punto (a,b)(a, b) del plano complejo.
  • Conjugado: zˉ=a−b i\bar z = a - b\,i (simétrico respecto al eje real).
  • Opuesto: −z=−a−b i-z = -a - b\,i.

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Forma polar

z=rαr=∣z∣=a2+b2α=arctan⁡baz = r_\alpha \qquad r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \alpha = \arctan\frac{b}{a} El módulo es la distancia al origen y el argumento, el ángulo con el eje real. Hay que corregir el cuadrante: si a<0a < 0, se suman 180°; si a>0a > 0 y b<0b < 0, 360°. De polar a binómica: a=rcos⁡αa = r\cos\alpha, b=rsin⁡αb = r\sin\alpha.

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Operaciones

En binómica, el cociente se hace multiplicando arriba y abajo por el conjugado del denominador.

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Raíces n-ésimas

Un complejo no nulo tiene exactamente nn raíces n-ésimas: rαn=(rn)α+360°kn,k=0,1,…,n−1\sqrt[n]{r_\alpha} = \left(\sqrt[n]{r}\right)_{\frac{\alpha + 360°k}{n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n - 1 Forman un polígono regular de nn lados centrado en el origen.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Producto

(3+2i)(1−2i)=3−6i+2i−4i2=7−4i(3 + 2i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i^2 = 7 - 4i.En polar: 3,60633,69°⋅2,236296,57°=8,062330,26°3{,}606_{33{,}69°} \cdot 2{,}236_{296{,}57°} = 8{,}062_{330{,}26°}.
3+2i1−2i=(3+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+8i5=−0,2+1,6i\dfrac{3 + 2i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + 2i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)} = \dfrac{-1 + 8i}{5} = -0{,}2 + 1{,}6i.
(1+i)8(1 + i)^8: 1+i=245°1 + i = \sqrt2_{45°}. (2)8=16(\sqrt2)^8 = 16 y 8⋅45°=360°8 \cdot 45° = 360°. Resultado: 1616.
8=80°8 = 8_{0°}. Raíces: 20°2_{0°}, 2120°2_{120°} y 2240°2_{240°}, es decir, 22, −1+3 i-1 + \sqrt3\,i y −1−3 i-1 - \sqrt3\,i. Forman un triángulo equilátero.

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Errores frecuentes

  • Olvidar que i2=−1i^2 = -1 al multiplicar.
  • No corregir el cuadrante del argumento.
  • Dar solo una raíz cuando hay nn.
  • Sumar en forma polar sumando módulos.

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Última modificación el 6 de octubre de 2026