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Un logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar un número para obtener otro? Si 25=322^5 = 32, el logaritmo en base 2 de 32 es 5. Los logaritmos convierten productos en sumas y potencias en productos, y por eso sirvieron durante siglos para hacer cuentas difíciles a mano. Hoy aparecen en las escalas que manejan cantidades enormes: el pH, los decibelios, la escala de los terremotos o el crecimiento de una inversión.

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Lo que vas a aprender

  • La definición de logaritmo y su relación con las potencias.
  • Los logaritmos decimales y neperianos.
  • Las propiedades del producto, del cociente y de la potencia.
  • El cambio de base.
  • La función logarítmica y su gráfica.
  • Dónde se usan los logaritmos.

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Fundamentos teóricos

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Definición

log⁡ax=y  ⟺  ay=x\log_a x = y \iff a^y = x con a>0a > 0, a≠1a \ne 1 y x>0x > 0. El logaritmo es el exponente. No existen los logaritmos de números negativos ni de 0: ninguna potencia de una base positiva da un número negativo o cero.

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Logaritmos más usados

  • Decimal: base 10. Se escribe log⁡x\log x (o lg⁡x\lg x).
  • Neperiano o natural: base e≈2,71828e \approx 2{,}71828. Se escribe ln⁡x\ln x. Es el de las matemáticas avanzadas y la física, porque (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac1x.
  • Binario: base 2, en informática: log⁡2n\log_2 n es el número de bits para representar nn valores y el número de pasos de una búsqueda binaria.

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Propiedades

No hay propiedad para la suma: log⁡(x+y)≠log⁡x+log⁡y\log(x + y) \ne \log x + \log y.

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Cambio de base

log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba=ln⁡xln⁡a\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = \frac{\ln x}{\ln a} Así se calcula cualquier logaritmo con la tecla log o ln de la calculadora.

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La función logarítmica

f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x es la inversa de la exponencial axa^x: su gráfica es la simétrica respecto de la recta y=xy = x.
  • Dominio: (0,∞)(0, \infty). Recorrido: todos los reales.
  • Pasa por (1,0)(1, 0) y por (a,1)(a, 1).
  • Si a>1a > 1, es creciente y crece muy despacio; si 0<a<10 < a < 1, es decreciente.
  • Tiene una asíntota vertical en x=0x = 0.

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Escalas logarítmicas

Puedes practicar con la calculadora de decibelios y la calculadora de pH.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Calcular logaritmos sin calculadora

log⁡264=6\log_2 64 = 6, porque 26=642^6 = 64.log⁡48\log_4 8: 4y=8⇒22y=23⇒y=324^y = 8 \Rightarrow 2^{2y} = 2^3 \Rightarrow y = \frac32.log⁡0,001=log⁡10−3=−3\log 0{,}001 = \log 10^{-3} = -3.
Sabiendo log⁡2≈0,301\log 2 \approx 0{,}301 y log⁡3≈0,477\log 3 \approx 0{,}477, calcula log⁡72\log 72.72=23⋅3272 = 2^3\cdot3^2: log⁡72=3log⁡2+2log⁡3=0,903+0,954=1,857\log 72 = 3\log 2 + 2\log 3 = 0{,}903 + 0{,}954 = 1{,}857.Y log⁡5=log⁡102=1−0,301=0,699\log 5 = \log\frac{10}{2} = 1 - 0{,}301 = 0{,}699.
ln⁡x3yz2=3ln⁡x+12ln⁡y−2ln⁡z\ln\frac{x^3\sqrt{y}}{z^2} = 3\ln x + \frac12\ln y - 2\ln z.
2log⁡x−log⁡y+3log⁡2=log⁡x2−log⁡y+log⁡8=log⁡8x2y2\log x - \log y + 3\log 2 = \log x^2 - \log y + \log 8 = \log\frac{8x^2}{y}.
log⁡350=ln⁡50ln⁡3=3,9121,099=3,561\log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} = \frac{3{,}912}{1{,}099} = 3{,}561. Comprobación: 33,561≈503^{3{,}561} \approx 50.
log⁡2100=100⋅0,30103=30,103\log 2^{100} = 100\cdot0{,}30103 = 30{,}103. Un número con logaritmo entre 30 y 31 tiene 31 cifras. Efectivamente, 2100≈1,27⋅10302^{100} \approx 1{,}27\cdot10^{30}.

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Errores frecuentes

  • Pensar que log⁡(x+y)=log⁡x+log⁡y\log(x + y) = \log x + \log y. La propiedad del producto es para productos.
  • Calcular logaritmos de números negativos o de cero.
  • Confundir log⁡x2\log x^2 con (log⁡x)2(\log x)^2. El primero es 2log⁡x2\log x.
  • Usar log de la calculadora cuando se pide ln, o al revés.
  • Dividir logaritmos como si fuera la propiedad del cociente: log⁡xlog⁡y\frac{\log x}{\log y} no es log⁡xy\log\frac{x}{y}; es un cambio de base, log⁡yx\log_y x.

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Preguntas frecuentes

Porque exe^x es la única función exponencial que es su propia derivada, y por eso aparece en todos los procesos que crecen o decrecen en proporción a su tamaño: poblaciones, interés continuo, desintegración radiactiva, carga de un condensador. Su inversa, ln⁡x\ln x, es el logaritmo “natural” por la misma razón.
Con tablas de logaritmos, publicadas por primera vez por John Napier en 1614 y Henry Briggs poco después. Para multiplicar dos números se buscaban sus logaritmos, se sumaban y se buscaba el antilogaritmo. La regla de cálculo, usada por los ingenieros hasta los años 70, hacía lo mismo con dos reglas en escala logarítmica.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026