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La integración por partes es la herramienta para integrar productos de funciones que no se pueden simplificar: x exx\,e^x, x2sen⁡xx^2\operatorname{sen} x, ln⁡x\ln x o excos⁡xe^x\cos x. Es la “regla del producto al revés”: transforma una integral difícil en otra más fácil. Junto con el cambio de variable, es el método de integración que más se usa en bachillerato y en primero de cualquier carrera de ciencias.

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Lo que vas a aprender

  • De dónde sale la fórmula de integración por partes.
  • Cómo elegir qué es uu y qué es dvdv con la regla ALPES.
  • Cómo resolver integrales que necesitan partes dos o más veces.
  • Qué son las integrales cíclicas y cómo se despejan.
  • El método tabular para polinomios por exponenciales o trigonométricas.
  • Cómo se aplica a integrales definidas.

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Fundamentos teóricos

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La fórmula

Se parte de la derivada de un producto: (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Integrando los dos lados y despejando: ∫u dv=u v−∫v du\int u\,dv = u\,v - \int v\,du Se elige una parte del integrando como uu (que se va a derivar) y el resto como dvdv (que se va a integrar). El método funciona cuando la nueva integral ∫v du\int v\,du es más sencilla que la original.

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Cómo elegir u: la regla ALPES

Se toma como uu la función que aparece antes en esta lista: La idea: las de arriba se simplifican al derivar (ln⁡x→1/x\ln x \to 1/x, x2→2xx^2 \to 2x) y las de abajo no se complican al integrar (ex→exe^x \to e^x). En inglés se conoce como ILATE o LIATE.

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Integrales cíclicas

Con eaxsen⁡(bx)e^{ax}\operatorname{sen}(bx) o eaxcos⁡(bx)e^{ax}\cos(bx), al aplicar partes dos veces vuelve a aparecer la integral original. No es un bucle sin salida: se llama II a la integral, se obtiene una ecuación del tipo I=algo−k II = \text{algo} - k\,I y se despeja II.

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Método tabular

Para ∫P(x) f(x) dx\int P(x)\,f(x)\,dx con PP polinomio y ff una exponencial, seno o coseno:
  1. En una columna se deriva PP hasta llegar a 0.
  2. En otra se integra ff el mismo número de veces.
  3. Se multiplican en diagonal con signos alternos +,−,+,…+, -, +, \dots y se suman.
Evita escribir tres o cuatro veces la fórmula de partes.

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Integral definida

∫abu dv=[u v]ab−∫abv du\int_a^b u\,dv = \Big[u\,v\Big]_a^b - \int_a^b v\,du Los límites se aplican a los dos términos.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · ∫ x eˣ dx

Polinómica antes que exponencial: u=xu = x, dv=exdxdv = e^x dx. Entonces du=dxdu = dx, v=exv = e^x.∫x exdx=x ex−∫exdx=x ex−ex+C=ex(x−1)+C\int x\,e^x dx = x\,e^x - \int e^x dx = x\,e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C.Comprobación: ddx[ex(x−1)]=ex(x−1)+ex=x ex\frac{d}{dx}[e^x(x-1)] = e^x(x - 1) + e^x = x\,e^x. ✓
Parece que no hay producto, pero se puede escribir ln⁡x⋅1\ln x \cdot 1: u=ln⁡xu = \ln x, dv=dxdv = dx. Entonces du=dxxdu = \frac{dx}{x}, v=xv = x.∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1xdx=xln⁡x−x+C\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C.El mismo truco sirve para ∫arctan⁡x dx\int \arctan x\,dx y ∫arcsen⁡x dx\int \operatorname{arcsen} x\,dx.
u=x2u = x^2, dv=sen⁡x dxdv = \operatorname{sen} x\,dx: du=2x dxdu = 2x\,dx, v=−cos⁡xv = -\cos x.=−x2cos⁡x+2∫xcos⁡x dx= -x^2\cos x + 2\int x\cos x\,dx.Otra vez partes con u=xu = x, dv=cos⁡x dxdv = \cos x\,dx: ∫xcos⁡x dx=xsen⁡x+cos⁡x\int x\cos x\,dx = x\operatorname{sen} x + \cos x.Resultado: −x2cos⁡x+2xsen⁡x+2cos⁡x+C-x^2\cos x + 2x\operatorname{sen} x + 2\cos x + C.
Diagonales: x2(−cos⁡x)−2x(−sen⁡x)+2cos⁡xx^2(-\cos x) - 2x(-\operatorname{sen} x) + 2\cos x. Mismo resultado en una línea.
I=∫excos⁡x dxI = \int e^x\cos x\,dx. Con u=cos⁡xu = \cos x, dv=exdxdv = e^x dx: I=excos⁡x+∫exsen⁡x dxI = e^x\cos x + \int e^x\operatorname{sen} x\,dx.Otra vez, con u=sen⁡xu = \operatorname{sen} x: ∫exsen⁡x dx=exsen⁡x−I\int e^x\operatorname{sen} x\,dx = e^x\operatorname{sen} x - I.I=excos⁡x+exsen⁡x−I⇒2I=ex(cos⁡x+sen⁡x)I = e^x\cos x + e^x\operatorname{sen} x - I \Rightarrow 2I = e^x(\cos x + \operatorname{sen} x).I=ex(sen⁡x+cos⁡x)2+CI = \frac{e^x(\operatorname{sen} x + \cos x)}{2} + C.
∫1exln⁡x dx\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx. Logarítmica antes que polinómica: u=ln⁡xu = \ln x, dv=x dxdv = x\,dx, v=x22v = \frac{x^2}{2}.=[x22ln⁡x]1e−∫1ex2dx=e22−[x24]1e=e22−e2−14=e2+14≈2,097= \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2}dx = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2{,}097.
u=arctan⁡xu = \arctan x, dv=dxdv = dx: du=dx1+x2du = \frac{dx}{1+x^2}, v=xv = x.=xarctan⁡x−∫x1+x2dx=xarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+C= x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}dx = x\arctan x - \tfrac12\ln(1 + x^2) + C.La última integral es inmediata (logaritmo), o un cambio de variable con t=1+x2t = 1 + x^2.

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Errores frecuentes

  • Elegir al revés. Con u=exu = e^x y dv=x dxdv = x\,dx en ∫xexdx\int x e^x dx, la nueva integral es ∫x22exdx\int \frac{x^2}{2}e^x dx: peor que la original.
  • Olvidar el signo menos de −∫v du-\int v\,du, sobre todo al aplicar partes dos veces.
  • Integrar mal dvdv. ∫sen⁡x dx=−cos⁡x\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x, no cos⁡x\cos x.
  • Aplicar los límites solo a uvuv en una integral definida. También la integral que queda lleva límites.
  • Seguir aplicando partes en una cíclica sin darse cuenta de que ha vuelto a salir la original.

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Preguntas frecuentes

Cuando hay un producto de funciones de tipos distintos (polinomio por exponencial, logaritmo por polinomio…) y no es la derivada de una función compuesta. Si dentro aparece una función y su derivada, como x ex2x\,e^{x^2}, es un cambio de variable, no partes.
Es una guía, no una ley. En ∫x3ex2dx\int x^3 e^{x^2}dx conviene u=x2u = x^2 y dv=x ex2dxdv = x\,e^{x^2}dx, porque esa dvdv sí se integra. Si con la elección de ALPES la integral empeora, prueba al revés.
Para calcular la transformada de Laplace de t f(t)t\,f(t), los coeficientes de las series de Fourier, valores esperados en probabilidad y el método de los elementos finitos, que se basa en una “integración por partes” en varias variables.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026