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El cambio de variable (o sustitución) es la “regla de la cadena al revés”. Cuando dentro de una integral aparece una función y, multiplicando, su derivada, se puede cambiar esa función por una variable nueva tt y la integral se vuelve inmediata. Es el primer método que hay que probar cuando una integral no está en la tabla.

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Lo que vas a aprender

  • La idea del cambio de variable y de dónde sale.
  • Cómo reconocer cuándo se puede usar y qué tt elegir.
  • Los pasos: cambiar la función, cambiar dxdx, integrar y deshacer el cambio.
  • Cómo cambiar los límites en una integral definida.
  • Los cambios trigonométricos para raíces del tipo a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}.
  • La sustitución t=tan⁡(x/2)t = \tan(x/2) para cocientes de senos y cosenos.

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Fundamentos teóricos

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La idea

Por la regla de la cadena, ddxF(g(x))=F′(g(x)) g′(x)\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))\,g'(x). Así que ∫f(g(x)) g′(x) dx=∫f(t) dtcon t=g(x), dt=g′(x) dx\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \qquad \text{con } t = g(x),\ dt = g'(x)\,dx Si en la integral aparece una función g(x)g(x) “dentro” de otra y su derivada g′(x)g'(x) multiplicando (aunque sea con otra constante), el cambio t=g(x)t = g(x) la simplifica.

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Pasos

  1. Elegir t=g(x)t = g(x), normalmente lo que está “dentro”: el argumento de una raíz, de una exponencial, de un logaritmo o de un seno.
  2. Derivar: dt=g′(x) dxdt = g'(x)\,dx, y despejar dxdx o el grupo g′(x) dxg'(x)\,dx.
  3. Sustituir: en la integral solo debe quedar tt. Si queda alguna xx, el cambio no sirve (o hay que despejar xx en función de tt).
  4. Integrar en tt.
  5. Deshacer el cambio: escribir el resultado en función de xx.

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Integral definida: cambiar los límites

Si t=g(x)t = g(x), cuando xx va de aa a bb, tt va de g(a)g(a) a g(b)g(b): ∫abf(g(x)) g′(x) dx=∫g(a)g(b)f(t) dt\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt Así no hace falta deshacer el cambio.

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Cambios habituales

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La sustitución universal t = tan(x/2)

Convierte cualquier función racional de senos y cosenos en una función racional de tt: sen⁡x=2t1+t2cos⁡x=1−t21+t2dx=2 dt1+t2\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \qquad dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2} Siempre funciona, pero suele dar cuentas largas: se usa cuando no hay nada más sencillo.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · ∫ 2x (x² + 1)⁵ dx

t=x2+1t = x^2 + 1, dt=2x dxdt = 2x\,dx. Aparece justo 2x dx2x\,dx:∫t5 dt=t66+C=(x2+1)66+C\int t^5\,dt = \frac{t^6}{6} + C = \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C.Desarrollar el binomio a la sexta habría sido mucho más largo.
t=x2t = x^2, dt=2x dx⇒x dx=dt2dt = 2x\,dx \Rightarrow x\,dx = \frac{dt}{2}.∫etdt2=et2+C=ex22+C\int e^t\frac{dt}{2} = \frac{e^t}{2} + C = \frac{e^{x^2}}{2} + C.Las constantes se ajustan sin problema; lo que no se puede es que falte una xx.
tan⁡x=sen⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Con t=cos⁡xt = \cos x, dt=−sen⁡x dxdt = -\operatorname{sen} x\,dx:∫−dtt=−ln⁡∣t∣+C=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int\frac{-dt}{t} = -\ln|t| + C = -\ln|\cos x| + C.
∫02xx2+5 dx\displaystyle\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\,dx. Con t=x2+5t = x^2 + 5: x dx=dt2x\,dx = \frac{dt}{2}, y los límites pasan a t=5t = 5 y t=9t = 9.12∫59t−1/2dt=[t]59=3−5≈0,764\frac12\int_5^9 t^{-1/2}dt = \left[\sqrt{t}\right]_5^9 = 3 - \sqrt5 \approx 0{,}764.
t2=x−1t^2 = x - 1: x=t2+1x = t^2 + 1, dx=2t dtdx = 2t\,dt.∫(t2+1) t⋅2t dt=∫(2t4+2t2) dt=2t55+2t33+C\int (t^2 + 1)\,t\cdot 2t\,dt = \int(2t^4 + 2t^2)\,dt = \frac{2t^5}{5} + \frac{2t^3}{3} + C.=25(x−1)5/2+23(x−1)3/2+C= \frac25(x - 1)^{5/2} + \frac23(x - 1)^{3/2} + C.
∫−rrr2−x2 dx\displaystyle\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2 - x^2}\,dx es el área de medio círculo. Con x=rsen⁡θx = r\operatorname{sen}\theta, dx=rcos⁡θ dθdx = r\cos\theta\,d\theta, y θ\theta de −π/2-\pi/2 a π/2\pi/2:∫−π/2π/2r2cos⁡2θ dθ=r2[θ2+sen⁡2θ4]−π/2π/2=πr22\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos^2\theta\,d\theta = r^2\left[\frac{\theta}{2} + \frac{\operatorname{sen} 2\theta}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi r^2}{2}.El círculo completo mide πr2\pi r^2.
1+cos⁡x=21+t21 + \cos x = \frac{2}{1 + t^2} y dx=2 dt1+t2dx = \frac{2\,dt}{1 + t^2}:∫1+t22⋅2 dt1+t2=∫dt=t+C=tan⁡x2+C\int\frac{1 + t^2}{2}\cdot\frac{2\,dt}{1 + t^2} = \int dt = t + C = \tan\frac{x}{2} + C.

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Errores frecuentes

  • No cambiar dxdx. Escribir ∫t5 dx\int t^5\,dx mezcla variables; hay que pasar todo a dtdt.
  • Dejar xx sueltas después del cambio. Si no se pueden eliminar, el cambio no es el adecuado.
  • Olvidar deshacer el cambio en una indefinida: el resultado tiene que quedar en xx.
  • Cambiar la variable y no los límites en una definida (o deshacer el cambio y además usar los límites nuevos).
  • Olvidar el valor absoluto del logaritmo: ∫dtt=ln⁡∣t∣\int\frac{dt}{t} = \ln|t|.

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Preguntas frecuentes

Si aparece una función y su derivada (salvo constantes), cambio de variable. Si es un producto de funciones de tipos distintos sin esa relación, como x exx\,e^x, por partes. A veces hacen falta las dos: primero un cambio y después partes.
Prueba con lo que esté dentro de la función más complicada (raíz, exponencial, logaritmo). Si es un cociente de polinomios, usa fracciones simples. Y si nada funciona, puede que la integral no tenga primitiva elemental, como ∫e−x2dx\int e^{-x^2}dx: entonces toca integración numérica.

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Tabla de integrales

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Última modificación el 12 de octubre de 2026