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¿Cuántas piezas defectuosas habrá en un lote de 50? ¿Cuántas llamadas llegarán a una centralita en un minuto? ¿Cuántos intentos hacen falta hasta el primer acierto? Son preguntas sobre variables aleatorias discretas, que solo toman valores enteros. Unas pocas distribuciones, la binomial, la de Poisson y la geométrica, describen la inmensa mayoría de estas situaciones, y reconocer cuál toca es la mitad del problema.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad, su esperanza y su varianza.
  • Las distribuciones de Bernoulli, binomial, geométrica, hipergeométrica y de Poisson.
  • Cómo decidir qué distribución corresponde a cada problema.
  • Cuándo se puede aproximar una por otra.

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Fundamentos teóricos

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Variable aleatoria discreta

Asigna un número a cada resultado de un experimento, con valores aislados x1,x2,…x_1, x_2, \dots La función de probabilidad es p(x)=P(X=x)p(x) = P(X = x), con ∑p(x)=1\sum p(x) = 1. E[X]=μ=∑x p(x)Var⁡(X)=σ2=E[X2]−μ2E[X] = \mu = \sum x\,p(x) \qquad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = E[X^2] - \mu^2 Propiedades: E[aX+b]=aE[X]+bE[aX + b] = aE[X] + b y Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X).

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Bernoulli

Un solo experimento con dos resultados: éxito (1) con probabilidad pp o fracaso (0) con probabilidad q=1−pq = 1 - p. E=pE = p, Var⁡=pq\operatorname{Var} = pq.

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Binomial B(n,p)B(n, p)

Número de éxitos en nn repeticiones independientes de un Bernoulli con la misma pp: P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kk=0,1,…,nP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \qquad k = 0, 1, \dots, n E[X]=npVar⁡(X)=np(1−p)E[X] = np \qquad \operatorname{Var}(X) = np(1-p) El número combinatorio cuenta en qué posiciones caen los éxitos. Es la distribución del tablero de Galton.

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Geométrica

Número de intentos hasta el primer éxito (incluido): P(X=k)=(1−p)k−1pk=1,2,…E[X]=1pVar⁡(X)=1−pp2P(X = k) = (1-p)^{k-1}p \qquad k = 1, 2, \dots \qquad E[X] = \frac1p \qquad \operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2} No tiene memoria: si ya llevas 10 fracasos, la probabilidad de tardar 3 intentos más es la misma que al principio.

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Hipergeométrica

Como la binomial, pero sin reemplazamiento: de una población de NN elementos con KK “éxitos” se extraen nn: P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)E[X]=nKNP(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \qquad E[X] = n\frac{K}{N} Si NN es mucho mayor que nn (en la práctica, n<0,05Nn < 0{,}05N), se aproxima por una binomial con p=K/Np = K/N.

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Poisson P(λ)P(\lambda)

Número de sucesos en un intervalo de tiempo o espacio, cuando ocurren al azar, de forma independiente y a ritmo medio constante λ\lambda: P(X=k)=e−λλkk!k=0,1,2,…E[X]=Var⁡(X)=λP(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \qquad k = 0, 1, 2, \dots \qquad E[X] = \operatorname{Var}(X) = \lambda Llamadas por minuto, desintegraciones por segundo, erratas por página, averías por año. Si el intervalo cambia, λ\lambda se escala en proporción.

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Cómo elegir

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Aproximaciones

La corrección de continuidad suma o resta 0,5: P(X≤10)≈P(Y≤10,5)P(X \le 10) \approx P(Y \le 10{,}5) con YY normal.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Binomial: piezas defectuosas

El 5 % de las piezas sale defectuoso. En una caja de 20, ¿probabilidad de que haya como mucho una defectuosa?X∼B(20; 0,05)X \sim B(20;\ 0{,}05).P(X=0)=0,9520=0,3585P(X = 0) = 0{,}95^{20} = 0{,}3585. P(X=1)=20⋅0,05⋅0,9519=0,3774P(X = 1) = 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{19} = 0{,}3774.P(X≤1)=0,736P(X \le 1) = 0{,}736. Media: np=1np = 1 pieza por caja.
Llegan de media 3 llamadas por minuto. ¿Probabilidad de que en un minuto lleguen más de 5? ¿Y ninguna en 2 minutos?P(X>5)=1−∑k=05e−33kk!=1−0,9161=0,0839P(X > 5) = 1 - \sum_{k=0}^{5}\frac{e^{-3}3^k}{k!} = 1 - 0{,}9161 = 0{,}0839.En 2 minutos, λ=6\lambda = 6: P(X=0)=e−6=0,0025P(X = 0) = e^{-6} = 0{,}0025.
¿Cuántas tiradas de un dado hacen falta de media hasta sacar un seis? ¿Y la probabilidad de necesitar más de 10?E[X]=1/p=6E[X] = 1/p = 6. P(X>10)=(56)10=0,1615P(X > 10) = \left(\frac56\right)^{10} = 0{,}1615: los 10 primeros fallan.
Un lote de 50 piezas tiene 4 defectuosas. Se inspeccionan 5 al azar. ¿Probabilidad de no encontrar ninguna?P(X=0)=(40)(465)(505)=1 370 7542 118 760=0,647P(X = 0) = \frac{\binom{4}{0}\binom{46}{5}}{\binom{50}{5}} = \frac{1\,370\,754}{2\,118\,760} = 0{,}647.Con la binomial (p=0,08p = 0{,}08) saldría 0,925=0,6590{,}92^5 = 0{,}659: aquí la muestra es el 10 % del lote y la aproximación ya se nota.
Un chip falla con probabilidad 0,001. En un pedido de 2000, ¿probabilidad de exactamente 3 fallos?Binomial exacta: (20003)0,0013 0,9991997=0,1805\binom{2000}{3}0{,}001^3\,0{,}999^{1997} = 0{,}1805.Poisson con λ=2\lambda = 2: e−2233!=0,1804\frac{e^{-2}2^3}{3!} = 0{,}1804. Prácticamente igual y mucho más fácil de calcular.
Se lanza una moneda 100 veces. ¿P(X≥60)P(X \ge 60)?μ=50\mu = 50, σ=5\sigma = 5. Con corrección de continuidad: P(Z≥59,5−505)=P(Z≥1,9)=0,0287P\left(Z \ge \frac{59{,}5 - 50}{5}\right) = P(Z \ge 1{,}9) = 0{,}0287. El valor exacto es 0,0284.

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Errores frecuentes

  • Usar la binomial sin independencia o con pp que cambia (extracciones sin reemplazamiento de una población pequeña): ahí toca la hipergeométrica.
  • No escalar λ con el intervalo. Si son 3 llamadas por minuto, en 5 minutos λ=15\lambda = 15.
  • Confundir las dos geométricas. Unos libros cuentan los intentos hasta el éxito (empieza en 1, media 1/p1/p) y otros los fracasos antes del éxito (empieza en 0, media (1−p)/p(1-p)/p).
  • Olvidar la corrección de continuidad al aproximar por la normal.

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Preguntas frecuentes

Porque es el límite de una binomial con n→∞n \to \infty y p→0p \to 0 manteniendo np=λnp = \lambda: la varianza np(1−p)np(1-p) tiende a np=λnp = \lambda. Si en unos datos de recuento la varianza es mucho mayor que la media, los sucesos no son independientes (hay “rachas”) y Poisson no es un buen modelo.
Si los sucesos siguen un proceso de Poisson de ritmo λ\lambda, el tiempo entre dos sucesos sigue una distribución exponencial de media 1/λ1/\lambda. Es la versión continua de la geométrica y tampoco tiene memoria.

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Temas relacionados

Combinatoria

Los números combinatorios de la binomial.

Tablero de Galton

Una binomial que se convierte en normal.

Distribución normal

El límite de la binomial y de Poisson.
Última modificación el 12 de octubre de 2026