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Si un test médico da positivo, ¿cuál es la probabilidad de tener la enfermedad? La intuición suele equivocarse por mucho, y la respuesta correcta la da el teorema de Bayes. Para llegar a él hace falta la probabilidad condicionada: la probabilidad de un suceso cuando ya se sabe que ha ocurrido otro. Es la base del diagnóstico médico, de los filtros de spam, del control de calidad y de buena parte de la inteligencia artificial.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es la probabilidad condicionada y cómo se calcula.
  • Cuándo dos sucesos son independientes.
  • Cómo organizar los datos en tablas de contingencia y diagramas de árbol.
  • El teorema de la probabilidad total.
  • El teorema de Bayes y por qué los falsos positivos engañan tanto.

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Fundamentos teóricos

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Probabilidad condicionada

La probabilidad de AA sabiendo que ha ocurrido BB: P(A∣B)=P(A∩B)P(B)(P(B)>0)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad (P(B) > 0) Al saber que ha ocurrido BB, el espacio de posibilidades se reduce a BB, y se mira qué parte de BB es también AA.

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Regla del producto

Despejando: P(A∩B)=P(B) P(A∣B)=P(A) P(B∣A)P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B) = P(A)\,P(B \mid A) Es lo que se hace al multiplicar las probabilidades a lo largo de una rama de un diagrama de árbol.

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Independencia

AA y BB son independientes si saber uno no cambia la probabilidad del otro: P(A∣B)=P(A)  ⟺  P(A∩B)=P(A) P(B)P(A \mid B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A)\,P(B) Dos lanzamientos de una moneda son independientes; sacar dos cartas sin devolver la primera, no. Independiente no es lo mismo que incompatible (que no pueden ocurrir a la vez): dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva nunca son independientes.

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Tabla de contingencia

Organiza dos características a la vez. Las probabilidades condicionadas se leen dividiendo una casilla entre el total de su fila o de su columna.

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Teorema de la probabilidad total

Si A1,…,AnA_1, \dots, A_n son sucesos incompatibles que cubren todas las posibilidades (una partición): P(B)=∑iP(Ai) P(B∣Ai)P(B) = \sum_{i} P(A_i)\,P(B \mid A_i) En un árbol: se suman las probabilidades de todas las ramas que terminan en BB.

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Teorema de Bayes

Da la vuelta a la condición: de P(B∣Ai)P(B \mid A_i) (lo que se conoce) a P(Ai∣B)P(A_i \mid B) (lo que se quiere): P(Ai∣B)=P(Ai) P(B∣Ai)∑jP(Aj) P(B∣Aj)P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)\,P(B \mid A_i)}{\sum_j P(A_j)\,P(B \mid A_j)}
  • P(Ai)P(A_i): probabilidad a priori, antes de saber nada.
  • P(Ai∣B)P(A_i \mid B): probabilidad a posteriori, tras observar BB.

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Pruebas diagnósticas

Con una enfermedad rara, aunque la prueba sea muy buena, la mayoría de los positivos pueden ser falsos positivos.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Con una tabla de contingencia

En una clase de 30: 12 chicas que hacen deporte, 6 chicas que no, 8 chicos que sí y 4 que no.P(deporte∣chica)=1218=23P(\text{deporte} \mid \text{chica}) = \frac{12}{18} = \frac23 y P(deporte)=2030=23P(\text{deporte}) = \frac{20}{30} = \frac23: independientes.
Una urna tiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se sacan dos sin devolver. ¿Probabilidad de que las dos sean rojas?P(R1∩R2)=58⋅47=2056=514≈0,357P(R_1 \cap R_2) = \frac58\cdot\frac47 = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0{,}357.
Tres máquinas fabrican el 50 %, 30 % y 20 % de las piezas, con un 2 %, 3 % y 5 % de defectuosas.P(D)=0,5⋅0,02+0,3⋅0,03+0,2⋅0,05=0,010+0,009+0,010=0,029P(D) = 0{,}5\cdot0{,}02 + 0{,}3\cdot0{,}03 + 0{,}2\cdot0{,}05 = 0{,}010 + 0{,}009 + 0{,}010 = 0{,}029.
Con los datos anteriores, una pieza es defectuosa. ¿Probabilidad de que venga de la tercera máquina?P(M3∣D)=0,2⋅0,050,029=0,0100,029=0,345P(M_3 \mid D) = \frac{0{,}2\cdot0{,}05}{0{,}029} = \frac{0{,}010}{0{,}029} = 0{,}345.Fabrica solo el 20 %, pero da el 34,5 % de las defectuosas.
Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Un test tiene un 99 % de sensibilidad y un 95 % de especificidad. Si da positivo, ¿probabilidad de estar enfermo?P(+)=0,01⋅0,99+0,99⋅0,05=0,0099+0,0495=0,0594P(+) = 0{,}01\cdot0{,}99 + 0{,}99\cdot0{,}05 = 0{,}0099 + 0{,}0495 = 0{,}0594.P(E∣+)=0,00990,0594=0,167P(E \mid +) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} = 0{,}167. Solo un 16,7 %. De cada 10 000 personas, 99 enfermas dan positivo, pero también 495 sanas. Por eso, tras un positivo en un cribado, se repite con una prueba más específica.
El 40 % del correo es spam. La palabra “gratis” aparece en el 30 % del spam y en el 2 % del correo normal. Un mensaje contiene “gratis”:P(S∣g)=0,4⋅0,30,4⋅0,3+0,6⋅0,02=0,120,132=0,91P(S \mid g) = \frac{0{,}4\cdot0{,}3}{0{,}4\cdot0{,}3 + 0{,}6\cdot0{,}02} = \frac{0{,}12}{0{,}132} = 0{,}91.Los filtros bayesianos combinan así muchas palabras a la vez.

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Errores frecuentes

  • Confundir P(A∣B)P(A \mid B) con P(B∣A)P(B \mid A). La probabilidad de dar positivo estando enfermo no es la de estar enfermo dando positivo.
  • Confundir independientes con incompatibles.
  • Ignorar la probabilidad a priori (la prevalencia). Es el error que hace que los falsos positivos sorprendan.
  • Multiplicar probabilidades de sucesos dependientes como si fueran independientes.
  • Olvidar alguna rama al aplicar la probabilidad total.

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Preguntas frecuentes

Hay tres puertas, un coche detrás de una y cabras en las otras. Eliges una, el presentador (que sabe dónde está el coche) abre otra con una cabra y te ofrece cambiar. Cambiar gana con probabilidad 23\frac23, no 12\frac12: tu elección inicial acierta solo 13\frac13 de las veces, y el presentador no abre puertas al azar.
Un enfoque en el que los parámetros desconocidos se tratan como variables con una distribución a priori, que se actualiza con los datos mediante el teorema de Bayes. Se usa en aprendizaje automático, medicina, meteorología y en cualquier problema donde se combine información previa con datos nuevos.

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Temas relacionados

Combinatoria

Contar casos favorables y posibles.

Distribuciones discretas

Binomial y Poisson.

Contraste de hipótesis

Errores de tipo I y II.
Última modificación el 12 de octubre de 2026