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Una encuesta a 1000 personas dice que el 42 % votará a un partido. ¿Cuánto se puede fiar uno de ese número? Un intervalo de confianza responde dando un rango, por ejemplo del 39 % al 45 %, y un nivel de confianza, por ejemplo del 95 %, que mide lo fiable que es el método. Es la forma honesta de dar un resultado obtenido de una muestra: con su incertidumbre.

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Lo que vas a aprender

  • La diferencia entre parámetro, estimador y estimación.
  • Qué es el error estándar y qué dice el teorema central del límite.
  • Cómo construir intervalos para la media, la proporción y la varianza.
  • Cuándo se usa la normal y cuándo la t de Student.
  • Cómo calcular el tamaño de muestra necesario para un margen de error.
  • Qué significa realmente “95 % de confianza”.

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Fundamentos teóricos

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Parámetro y estimador

El parámetro es el valor desconocido de la población (μ\mu, pp, σ\sigma). El estimador es la fórmula que se aplica a la muestra (xˉ\bar x, p^\hat p, ss), y la estimación, el número que sale. La cuasivarianza muestral usa n−1n - 1 para no subestimar la varianza: s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2

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Error estándar y teorema central del límite

La media muestral xˉ\bar x varía de una muestra a otra. Su desviación típica es el error estándar: σxˉ=σn\sigma_{\bar x} = \frac{\sigma}{\sqrt n} Teorema central del límite: para nn grande (en la práctica, n≥30n \ge 30), xˉ\bar x sigue aproximadamente una normal N ⁣(μ,σn)N\!\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt n}\right), sea cual sea la distribución de la población.

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Estructura de un intervalo

estimacioˊn±valor crıˊtico×error estaˊndar⏟margen de error E\text{estimación} \pm \underbrace{\text{valor crítico} \times \text{error estándar}}_{\text{margen de error } E} Valores críticos de la normal zα/2z_{\alpha/2}, con confianza 1−α1 - \alpha:

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Intervalos más usados

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La t de Student

Si σ\sigma no se conoce y se sustituye por ss, la incertidumbre extra hace que las colas sean más gruesas: en lugar de la normal se usa la t de Student con n−1n - 1 grados de libertad. Para muestras grandes se parece mucho a la normal. Con muestras pequeñas la población tiene que ser aproximadamente normal.

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Tamaño de muestra

Despejando nn del margen de error EE: n=(zα/2 σE)2n=zα/22 p^(1−p^)E2n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2 \qquad n = \frac{z_{\alpha/2}^2\,\hat p(1-\hat p)}{E^2} Para la proporción, si no se sabe nada se usa p^=0,5\hat p = 0{,}5, el caso más desfavorable. Se redondea siempre hacia arriba.

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Qué significa el 95 %

No significa que haya un 95 % de probabilidad de que μ\mu esté en el intervalo calculado: μ\mu es fijo, y está o no está. Significa que, si se repitiera el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos así construidos contendría a μ\mu. La confianza es del método, no de un intervalo concreto.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Media con σ conocida

Una máquina llena botellas con σ=4\sigma = 4 ml. Una muestra de 36 da xˉ=498\bar x = 498 ml. Intervalo al 95 %.E=1,96⋅436=1,31E = 1{,}96\cdot\frac{4}{\sqrt{36}} = 1{,}31 ml. Intervalo: (496,7; 499,3)(496{,}7;\ 499{,}3) ml.El valor nominal de 500 ml queda fuera: hay indicios de que la máquina llena de menos.
Se miden 10 resistencias de 100 Ω: xˉ=101,2\bar x = 101{,}2 Ω, s=1,5s = 1{,}5 Ω. Intervalo al 95 %.t0,025; 9=2,262t_{0{,}025;\,9} = 2{,}262. E=2,262⋅1,510=1,07E = 2{,}262\cdot\frac{1{,}5}{\sqrt{10}} = 1{,}07 Ω.Intervalo: (100,13; 102,27)(100{,}13;\ 102{,}27) Ω. Con la normal habría salido ±0,93\pm0{,}93: demasiado optimista.
De 1000 encuestados, 420 votarán al partido A. Intervalo al 95 %.p^=0,42\hat p = 0{,}42. E=1,960,42⋅0,581000=1,96⋅0,0156=0,031E = 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}42\cdot0{,}58}{1000}} = 1{,}96\cdot0{,}0156 = 0{,}031.Intervalo: del 38,9 % al 45,1 %. Es el “margen de error de ±3 puntos” de las noticias.
¿Cuántas personas hay que encuestar para un margen de ±2 puntos al 95 %?n=1,962⋅0,5⋅0,50,022=2401n = \frac{1{,}96^2\cdot0{,}5\cdot0{,}5}{0{,}02^2} = 2401. Para reducir el margen a la mitad hace falta cuadruplicar la muestra.
Con los datos del ejemplo 1 al 99 %: E=2,576⋅46=1,72E = 2{,}576\cdot\frac46 = 1{,}72 ml, intervalo (496,3; 499,7)(496{,}3;\ 499{,}7). Más seguridad cuesta más anchura.

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Errores frecuentes

  • Decir “hay un 95 % de probabilidad de que μ esté aquí”. La confianza se refiere al procedimiento, no a un intervalo concreto.
  • Usar zz con muestras pequeñas y σ desconocida. Toca la t de Student con n−1n - 1 grados de libertad.
  • Dividir por nn en lugar de por n\sqrt n en el error estándar.
  • Redondear el tamaño de muestra hacia abajo. 2400,6 personas son 2401.
  • Olvidar que el intervalo solo recoge el error aleatorio. Una muestra sesgada (solo gente que contesta al teléfono fijo) da un intervalo estrecho y equivocado.

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Preguntas frecuentes

Porque los errores de cada dato se compensan en parte al promediar, pero no del todo. La varianza de la media es σ2/n\sigma^2/n, así que la desviación típica es σ/n\sigma/\sqrt n. Es la misma ley que en la caminata aleatoria y en el método de Montecarlo.
Son dos caras de la misma moneda: un contraste bilateral al nivel α\alpha rechaza H0:μ=μ0H_0: \mu = \mu_0 exactamente cuando μ0\mu_0 queda fuera del intervalo de confianza al 1−α1 - \alpha. Lo explica el tema de contrastes de hipótesis.

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Temas relacionados

Distribución normal

Probabilidades y tipificación.

Contraste de hipótesis

Decidir con datos.

Estadística descriptiva

Media, desviación típica y gráficos.
Última modificación el 12 de octubre de 2026