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Representar una función es dibujar su gráfica a partir de su fórmula, sabiendo dónde existe, por dónde corta los ejes, hacia dónde se va en el infinito, dónde sube y baja y cómo se curva. Es el ejercicio que reúne todo lo aprendido de límites y derivadas, y uno de los fijos en los exámenes de bachillerato y de acceso a la universidad.

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Lo que vas a aprender

  • Los pasos de un estudio completo de una función.
  • Cómo calcular el dominio y los cortes con los ejes.
  • Cómo hallar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
  • Cómo estudiar la monotonía y los extremos con la primera derivada.
  • Cómo estudiar la curvatura y los puntos de inflexión con la segunda.

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Fundamentos teóricos

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Los pasos

  1. Dominio: dónde está definida.
  2. Cortes con los ejes: con el eje yy, f(0)f(0); con el eje xx, las soluciones de f(x)=0f(x) = 0.
  3. Simetrías: par (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)) o impar (f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)).
  4. Asíntotas.
  5. Monotonía y extremos con f′f'.
  6. Curvatura y puntos de inflexión con f′′f''.
  7. Tabla de valores y dibujo.

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Dominio

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Asíntotas

En una racional PQ\frac{P}{Q}: horizontal si grado P≤P \le grado QQ; oblicua si grado PP = grado QQ + 1 (y se obtiene dividiendo).

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Monotonía y extremos

  • f′(x)>0f'(x) > 0: creciente. f′(x)<0f'(x) < 0: decreciente.
  • Los extremos relativos están donde f′f' cambia de signo (puntos con f′=0f' = 0 o donde f′f' no existe).
  • Si f′(a)=0f'(a) = 0 y f′′(a)>0f''(a) > 0: mínimo. Si f′′(a)<0f''(a) < 0: máximo.

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Curvatura e inflexión

  • f′′(x)>0f''(x) > 0: convexa (forma de ∪\cup, “sonrisa”).
  • f′′(x)<0f''(x) < 0: cóncava (forma de ∩\cap).
  • Punto de inflexión: donde f′′f'' cambia de signo.
Algunos libros usan los nombres al revés (cóncava hacia arriba = convexa). Lo seguro es dar el signo de f′′f'' o dibujar ∪\cup y ∩\cap.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Polinómica: f(x) = x³ − 3x

Dominio: R\mathbb{R}. Cortes: x(x2−3)=0⇒x=0,±3x(x^2 - 3) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm\sqrt3. Simetría: impar.Asíntotas: ninguna (es polinómica).f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm1. Crece en (−∞,−1)(-\infty, -1) y (1,∞)(1, \infty); decrece en (−1,1)(-1, 1). Máximo en (−1,2)(-1, 2) y mínimo en (1,−2)(1, -2).f′′(x)=6xf''(x) = 6x: cóncava (∩\cap) para x<0x < 0, convexa (∪\cup) para x>0x > 0. Inflexión en (0,0)(0, 0).
Dominio: R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}. No corta el eje xx (x2+1>0x^2 + 1 > 0). Impar.Vertical: x=0x = 0. Oblicua: x2+1x=x+1x\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac1x, así que y=xy = x.f′(x)=1−1x2=0⇒x=±1f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm1. Máximo en (−1,−2)(-1, -2), mínimo en (1,2)(1, 2).f′′(x)=2x3f''(x) = \frac{2}{x^3}: cóncava para x<0x < 0, convexa para x>0x > 0. Sin inflexión (en x=0x = 0 no existe la función).
Dominio: x≠±1x \ne \pm1. Corte en (0,0)(0, 0). Impar.Verticales: x=1x = 1 y x=−1x = -1. Horizontal: y=0y = 0 (grado del numerador menor).f′(x)=2(x2−1)−2x⋅2x(x2−1)2=−2(x2+1)(x2−1)2<0f'(x) = \frac{2(x^2 - 1) - 2x\cdot2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-2(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^2} < 0: siempre decreciente, sin extremos.
Dominio: R\mathbb{R}. Corte en (0,0)(0, 0).lim⁡x→−∞x ex=0\lim_{x\to-\infty}x\,e^x = 0: asíntota horizontal y=0y = 0 por la izquierda. Por la derecha tiende a +∞+\infty.f′(x)=(1+x)ex=0⇒x=−1f'(x) = (1 + x)e^x = 0 \Rightarrow x = -1: mínimo en (−1,−1e)≈(−1;−0,37)(-1, -\frac1e) \approx (-1; -0{,}37).f′′(x)=(2+x)exf''(x) = (2 + x)e^x: inflexión en x=−2x = -2.
Dominio: (0,∞)(0, \infty). Corte en (1,0)(1, 0).lim⁡x→0+ln⁡xx=−∞\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{x} = -\infty: vertical x=0x = 0. lim⁡x→∞ln⁡xx=0\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = 0: horizontal y=0y = 0.f′(x)=1−ln⁡xx2=0⇒x=ef'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \Rightarrow x = e: máximo en (e,1e)(e, \frac1e).

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Errores frecuentes

  • Buscar asíntotas verticales en todos los ceros del denominador sin comprobar el límite. En x2−1x−1\frac{x^2 - 1}{x - 1}, x=1x = 1 es un agujero, no una asíntota.
  • Decir que hay un extremo solo porque f′=0f' = 0. x3x^3 tiene f′(0)=0f'(0) = 0 y no tiene extremo: hay que ver el cambio de signo.
  • Olvidar los puntos fuera del dominio al hacer la tabla de signos de f′f' y f′′f''.
  • Dar los extremos solo con la xx. Un punto tiene dos coordenadas: calcula f(a)f(a).
  • Buscar oblicua cuando ya hay horizontal en ese lado.

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Preguntas frecuentes

Sí. La asíntota describe el comportamiento en el infinito, no en el centro. sen⁡xx\frac{\operatorname{sen} x}{x} tiene asíntota y=0y = 0 y la corta infinitas veces. Lo que no puede cortar es una asíntota vertical.
Con el simulador de transformaciones de funciones o el de derivada e integral, que dibujan la función y su derivada. Comprueba que los extremos y las asíntotas coinciden con lo calculado.

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Temas relacionados

Derivadas paso a paso

Calcula f′ y f″.

Límites paso a paso

Asíntotas y comportamiento en el infinito.

Optimización

Extremos aplicados a problemas.
Última modificación el 12 de octubre de 2026