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¿Qué medidas debe tener una caja para gastar el mínimo de cartón? ¿A qué precio hay que vender un producto para ganar lo máximo? ¿Dónde está el punto de una curva más cercano a otro? Son problemas de optimización: buscar el máximo o el mínimo de una magnitud que depende de otra. Las derivadas los resuelven con un método que siempre es el mismo.

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Lo que vas a aprender

  • Los pasos para plantear y resolver un problema de optimización.
  • Cómo usar la restricción para dejar una sola variable.
  • Cómo comprobar que la solución es un máximo o un mínimo.
  • Por qué hay que mirar los extremos del intervalo.

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Fundamentos teóricos

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El método

  1. Dibuja la situación y pon nombre a las variables.
  2. Escribe la función objetivo: lo que hay que maximizar o minimizar (área, coste, volumen, distancia…).
  3. Si depende de varias variables, usa la restricción (el dato fijo del problema) para dejarla en una sola.
  4. Escribe el dominio: los valores con sentido físico (longitudes positivas, cantidades dentro de un rango).
  5. Deriva e iguala a cero para hallar los puntos críticos.
  6. Comprueba que es máximo o mínimo: con el signo de f′′f'' o con el cambio de signo de f′f'.
  7. Si el dominio es un intervalo cerrado, compara con el valor en los extremos del intervalo.
  8. Responde a la pregunta, con unidades.

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Extremos absolutos

En un intervalo cerrado [a,b][a, b], una función continua alcanza su máximo y su mínimo (teorema de Weierstrass), y están:
  • en un punto crítico interior, o
  • en uno de los extremos aa o bb.
Basta con evaluar ff en todos esos puntos y comparar.

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Truco de la distancia

Para minimizar una distancia d=⋯d = \sqrt{\cdots}, basta con minimizar d2d^2, que tiene el mínimo en el mismo punto y no tiene raíz. Para problemas con varias variables y restricciones, ver extremos y multiplicadores de Lagrange.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Corral de área máxima junto a un muro

Con 100 m de valla se quiere cercar un corral rectangular aprovechando un muro como uno de los lados.Lados xx (perpendiculares al muro, dos) e yy (paralelo). Restricción: 2x+y=1002x + y = 100. Área: A=xy=x(100−2x)A = xy = x(100 - 2x), con 0<x<500 < x < 50.A′(x)=100−4x=0⇒x=25A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25. A′′(x)=−4<0A''(x) = -4 < 0: máximo. y=50y = 50 m, área 1250 m².
De una chapa cuadrada de 30 cm se cortan cuadrados de lado xx en las esquinas y se doblan los bordes.V=x(30−2x)2V = x(30 - 2x)^2, con 0<x<150 < x < 15. V′(x)=(30−2x)2−4x(30−2x)=(30−2x)(30−6x)=0⇒x=5V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x) = 0 \Rightarrow x = 5 (la otra, x=15x = 15, da volumen 0).V(5)=5⋅202=2000V(5) = 5\cdot20^2 = 2000 cm³ = 2 L.
Lata cilíndrica de 1 L (1000 cm³). Superficie: S=2πr2+2πrhS = 2\pi r^2 + 2\pi rh, con πr2h=1000\pi r^2h = 1000.h=1000πr2h = \frac{1000}{\pi r^2}: S(r)=2πr2+2000rS(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}. S′(r)=4πr−2000r2=0⇒r=500π3=5,42S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} = 5{,}42 cm.h=10,84h = 10{,}84 cm =2r= 2r: la altura igual al diámetro. Las latas reales son más altas por otras razones (agarre, costes de las tapas, apilado).
Se venden xx unidades a un precio p=100−0,5xp = 100 - 0{,}5x euros, con un coste C=20x+500C = 20x + 500.Beneficio: B=px−C=100x−0,5x2−20x−500=−0,5x2+80x−500B = px - C = 100x - 0{,}5x^2 - 20x - 500 = -0{,}5x^2 + 80x - 500.B′(x)=−x+80=0⇒x=80B'(x) = -x + 80 = 0 \Rightarrow x = 80 unidades, a 60 € cada una, con beneficio B(80)=2700B(80) = 2700 €.
Punto de la parábola y=x2y = x^2 más cercano a (0,2)(0, 2). Se minimiza d2=x2+(x2−2)2=x4−3x2+4d^2 = x^2 + (x^2 - 2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4.(d2)′=4x3−6x=0⇒x=0(d^2)' = 4x^3 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0 o x=±1,5x = \pm\sqrt{1{,}5}. En x=0x = 0, d2=4d^2 = 4; en x=±1,225x = \pm1{,}225, d2=1,75d^2 = 1{,}75.Los puntos más cercanos son (±1,225; 1,5)(\pm1{,}225;\ 1{,}5), a distancia 1,75=1,32\sqrt{1{,}75} = 1{,}32.
Un hotel de 50 habitaciones las alquila todas a 80 €; por cada 2 € de subida se queda una vacía. Con xx subidas de 2 €: ingresos I=(80+2x)(50−x)I = (80 + 2x)(50 - x), con 0≤x≤500 \le x \le 50.I′(x)=2(50−x)−(80+2x)=20−4x=0⇒x=5I'(x) = 2(50 - x) - (80 + 2x) = 20 - 4x = 0 \Rightarrow x = 5: precio de 90 € e ingresos de 4050 €.En los extremos: I(0)=4000I(0) = 4000 € e I(50)=0I(50) = 0. El máximo es el interior.

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Errores frecuentes

  • No usar la restricción y quedarse con dos variables.
  • No comprobar si es máximo o mínimo. Un punto crítico puede ser lo contrario de lo que se busca.
  • Olvidar el dominio y dar soluciones sin sentido (longitudes negativas, más unidades de las que hay).
  • No mirar los extremos del intervalo, donde a veces está la solución.
  • Responder solo con xx cuando se pregunta por las medidas, el área o el beneficio.

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Preguntas frecuentes

Porque justo en lo alto la función deja de subir y empieza a bajar: la recta tangente es horizontal, de pendiente cero. Si la derivada fuera positiva, la función seguiría subiendo un poco más allá; si fuera negativa, ya habría empezado a bajar antes.
En todas partes: diseño de piezas con mínimo material, logística y rutas, carteras de inversión, entrenamiento de redes neuronales (que minimizan una función de error con millones de variables), control de procesos y estructuras más ligeras y resistentes.

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Temas relacionados

Representación de funciones

Monotonía, extremos y curvatura.

Derivadas paso a paso

Deriva la función objetivo.

Extremos y Lagrange

Optimización con varias variables.
Última modificación el 12 de octubre de 2026