Saltar al contenido principal
La integral definida no solo da áreas: sirve para calcular cualquier magnitud que se obtenga sumando muchas partes pequeñas. Volúmenes de cuerpos con forma curva, longitudes de cables, el trabajo de una fuerza que cambia, la distancia recorrida con una velocidad variable o la temperatura media de un día. La idea es siempre la misma: trocear, aproximar cada trozo y sumar.

​
Lo que vas a aprender

  • Cómo calcular el área encerrada por una curva y por dos curvas.
  • Los volúmenes de revolución por discos, arandelas y capas.
  • La longitud de un arco de curva.
  • El valor medio de una función.
  • Algunas aplicaciones en física.

​
Fundamentos teóricos

​
Área bajo una curva

A=∫ab∣f(x)∣ dxA = \int_a^b |f(x)|\,dx Si ff cambia de signo, hay que separar los tramos en los ceros de ff y sumar los valores absolutos, porque la integral cuenta con signo lo que queda por debajo del eje.

​
Área entre dos curvas

A=∫ab(f(x)−g(x)) dxcon f≥g en [a,b]A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx \quad \text{con } f \ge g \text{ en } [a, b] Los límites suelen ser los puntos de corte, que se obtienen resolviendo f(x)=g(x)f(x) = g(x). Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, se separa en tramos.

​
Volúmenes de revolución

Al girar una región alrededor de un eje se forma un sólido: En el de arandelas se restan los cuadrados, no se eleva al cuadrado la resta.

​
Longitud de arco

L=∫ab1+f′(x)2 dxL = \int_a^b\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx Sale de sumar trocitos de hipotenusa dx2+dy2\sqrt{dx^2 + dy^2}. A menudo la integral no tiene primitiva elemental y se calcula con integración numérica.

​
Valor medio

fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar f = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx Es la altura del rectángulo que tiene la misma área que la región bajo la curva. Por el teorema del valor medio, la función alcanza ese valor en algún punto del intervalo (si es continua).

​
Aplicaciones físicas

​
Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Área con cambio de signo

Área entre f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 y el eje xx en [0,3][0, 3]. ff cambia de signo en x=2x = 2.∫02(x2−4) dx=83−8=−163\int_0^2(x^2 - 4)\,dx = \frac83 - 8 = -\frac{16}{3}; ∫23(x2−4) dx=193−4=73\int_2^3(x^2 - 4)\,dx = \frac{19}{3} - 4 = \frac73.Área =163+73=233≈7,67= \frac{16}{3} + \frac73 = \frac{23}{3} \approx 7{,}67. La integral sin separar daría −3-3, que no es un área.
Entre y=x2y = x^2 e y=x+2y = x + 2. Cortes: x2=x+2⇒x=−1,2x^2 = x + 2 \Rightarrow x = -1, 2. En medio, la recta está por encima.A=∫−12(x+2−x2) dx=[x22+2x−x33]−12=103+76=92A = \int_{-1}^{2}(x + 2 - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac76 = \frac92.
Al girar y=rhxy = \frac{r}{h}x en [0,h][0, h] alrededor del eje xx:V=π∫0hr2h2x2 dx=πr2h2⋅h33=13πr2hV = \pi\int_0^h\frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \pi\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac13\pi r^2h.
Al girar y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2} en [−R,R][-R, R]:V=π∫−RR(R2−x2) dx=π(2R3−2R33)=43πR3V = \pi\int_{-R}^{R}(R^2 - x^2)\,dx = \pi\left(2R^3 - \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3.
Región entre y=xy = x e y=x2y = x^2 (en [0,1][0, 1]) girando alrededor del eje xx:V=π∫01(x2−x4) dx=π(13−15)=2π15V = \pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac13 - \frac15\right) = \frac{2\pi}{15}.
Temperatura a lo largo del día: T(t)=15+8sen⁡π(t−9)12T(t) = 15 + 8\operatorname{sen}\frac{\pi(t - 9)}{12}, con tt en horas. Media entre las 9 y las 21 h:Tˉ=112∫921T dt=15+812⋅12π⋅2=15+16π=20,1\bar T = \frac{1}{12}\int_9^{21}T\,dt = 15 + \frac{8}{12}\cdot\frac{12}{\pi}\cdot2 = 15 + \frac{16}{\pi} = 20{,}1 °C.
Un muelle con k=200k = 200 N/m (ley de Hooke, F=kxF = kx). Trabajo para estirarlo de 0 a 0,1 m:W=∫00,1200x dx=100⋅0,01=1W = \int_0^{0{,}1}200x\,dx = 100\cdot0{,}01 = 1 J.

​
Errores frecuentes

  • Integrar sin separar los tramos donde la función cambia de signo.
  • Restar al revés en el área entre curvas: es la de arriba menos la de abajo.
  • Calcular (f−g)2(f - g)^2 en lugar de f2−g2f^2 - g^2 en las arandelas.
  • Olvidar el factor π\pi en los volúmenes de revolución.
  • Usar mal los límites: en el área entre curvas son los puntos de corte, que hay que calcular.

​
Preguntas frecuentes

Depende de cómo se describa mejor la región. Si al girar alrededor del eje yy la función está escrita como y=f(x)y = f(x) y despejar xx es difícil, las capas cilíndricas evitan despejar. Si es fácil, discos con x=g(y)x = g(y).
Si se conoce el área A(x)A(x) de cada sección perpendicular a un eje, V=∫A(x) dxV = \int A(x)\,dx (principio de Cavalieri). Para cuerpos más generales se usan integrales dobles y triples.

​
Temas relacionados

Derivada e integral

Sumas de Riemann y área bajo la curva.

Integrales paso a paso

Calcula las primitivas.

Áreas y perímetros

Áreas de figuras planas.
Última modificación el 12 de octubre de 2026