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Muchos límites dan, al sustituir, expresiones como 00\frac00 o ∞∞\frac\infty\infty que no dicen nada por sí mismas. La regla de L’Hôpital las resuelve derivando el numerador y el denominador por separado: el límite del cociente de las funciones es el límite del cociente de sus derivadas. Es la herramienta más rápida para muchos límites con funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

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Lo que vas a aprender

  • El enunciado de la regla y sus condiciones.
  • Cómo aplicarla a 00\frac00 y a ∞∞\frac\infty\infty.
  • Cómo convertir las demás indeterminaciones en una de estas dos.
  • Cuándo aplicarla varias veces y cuándo no funciona.

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Fundamentos teóricos

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Enunciado

Si lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} es una indeterminación 00\frac00 o ±∞±∞\frac{\pm\infty}{\pm\infty}, ff y gg son derivables cerca de aa y existe lim⁡f′(x)g′(x)\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}, entonces lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} Vale también con a=±∞a = \pm\infty y con límites laterales. Se deriva el numerador y el denominador por separado, no se aplica la regla del cociente.

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Las otras indeterminaciones

Para 1∞1^\infty hay un atajo: si f→1f \to 1 y g→∞g \to \infty, lim⁡fg=elim⁡g (f−1)\lim f^g = e^{\lim g\,(f - 1)}

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Velocidades de crecimiento

Aplicando L’Hôpital se comprueba la jerarquía de infinitos cuando x→∞x \to \infty: ln⁡x≪xp≪ax≪xx(p>0, a>1)\ln x \ll x^p \ll a^x \ll x^x \qquad (p > 0,\ a > 1) Por ejemplo, lim⁡ln⁡xxp=0\lim\frac{\ln x}{x^p} = 0 y lim⁡xnex=0\lim\frac{x^n}{e^x} = 0 para cualquier nn.

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Cuándo no funciona

  • Si no hay indeterminación: lim⁡x→0x+1x+2=12\lim_{x\to0}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac12, pero derivando saldría 1.
  • Si el límite de las derivadas no existe: lim⁡x→∞x+sen⁡xx=1\lim_{x\to\infty}\frac{x + \operatorname{sen} x}{x} = 1, pero 1+cos⁡x1\frac{1 + \cos x}{1} oscila.
  • Si derivar no simplifica y entra en un ciclo: ex+e−xex−e−x\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} vuelve a sí misma. Mejor dividir por exe^x.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Indeterminación 0/0

lim⁡x→0sen⁡3xx=0/0lim⁡x→03cos⁡3x1=3\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} 3x}{x} \overset{0/0}{=} \lim_{x\to0}\frac{3\cos 3x}{1} = 3.
lim⁡x→0ex−1−xx2=0/0lim⁡ex−12x=0/0lim⁡ex2=12\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \overset{0/0}{=} \lim\frac{e^x - 1}{2x} \overset{0/0}{=} \lim\frac{e^x}{2} = \frac12.
lim⁡x→∞x2ex=∞/∞lim⁡2xex=lim⁡2ex=0\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x} \overset{\infty/\infty}{=} \lim\frac{2x}{e^x} = \lim\frac{2}{e^x} = 0. La exponencial gana.
lim⁡x→0+xln⁡x=lim⁡ln⁡x1/x=∞/∞lim⁡1/x−1/x2=lim⁡(−x)=0\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x = \lim\frac{\ln x}{1/x} \overset{\infty/\infty}{=} \lim\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim(-x) = 0.
lim⁡x→0(1x−1sen⁡x)=lim⁡sen⁡x−xxsen⁡x=0/0lim⁡cos⁡x−1sen⁡x+xcos⁡x=0/0lim⁡−sen⁡x2cos⁡x−xsen⁡x=0\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac1x - \frac{1}{\operatorname{sen} x}\right) = \lim\frac{\operatorname{sen} x - x}{x\operatorname{sen} x} \overset{0/0}{=} \lim\frac{\cos x - 1}{\operatorname{sen} x + x\cos x} \overset{0/0}{=} \lim\frac{-\operatorname{sen} x}{2\cos x - x\operatorname{sen} x} = 0.
lim⁡x→∞(1+3x)2x=elim⁡2x⋅3x=e6\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac3x\right)^{2x} = e^{\lim 2x\cdot\frac3x} = e^6.
lim⁡x→0+xx=elim⁡xln⁡x=e0=1\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x = e^{\lim x\ln x} = e^0 = 1, usando el ejemplo 4.

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Errores frecuentes

  • Aplicarla sin indeterminación. Comprueba siempre antes que sale 00\frac00 o ∞∞\frac\infty\infty.
  • Derivar el cociente con la regla del cociente. Se derivan numerador y denominador por separado.
  • Aplicarla a 0⋅∞0\cdot\infty o 1∞1^\infty directamente. Hay que transformarlas antes.
  • Olvidar el exponente al volver de los logaritmos: el resultado es elıˊmitee^{\text{límite}}, no el límite.
  • Usarla en sucesiones directamente. Se aplica a la función de variable real asociada.

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Preguntas frecuentes

L’Hôpital es más rápido cuando basta con derivar una o dos veces. Con varias funciones que hay que derivar muchas veces, como tan⁡x−sen⁡xx3\frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x^3}, Taylor suele ser más corto y deja ver qué términos importan.
Se publicó en 1696 en el primer libro de texto de cálculo, escrito por el marqués de L’Hôpital, pero el resultado era de Johann Bernoulli, que le daba clases a cambio de un sueldo y de los derechos sobre sus descubrimientos.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026